14. Виды неопределенностей

При вычислении пределов могут возникнуть так называемые неопределенности. Например, предел отношения при условии и может принимать различные значения, в том числе равняться бесконечности, или даже не существовать. В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида .

Перечислим все неопределенности, которые могут возникнуть при вычислении пределов: , , , , , , .

При возникновении неопределенности в каждом конкретном примере необходимо преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы неопределенность исчезла.

От неопределенности вида можно избавиться, используя второй замечательный предел. В дальнейшем будет показано, как раскрываются неопределенности вида и .

15. Сравнение бесконечно малых

Определение 4.20. Две бесконечно малые и называются величинами одного и того же порядка малости при , если В частности, если k = 1, то говорят, что и эквивалентные величины, и пишут ~ . Таким образом,

~ .

Определение 4.21. Бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая при , если

Порядок бесконечно малой функции можно определить из условия: если , то будет бесконечно малой порядка п.

Например, – бесконечно малая порядка 1 при , а – бесконечно малая порядка 2, так как

, .

Теорема 4.6. Пусть ~ при , тогда справедливы равенства:

, ,

,

где – некоторая функция, определенная в окрестности точки а.

Для применения этой теоремы на практике полезно знать как можно больше пар эквивалентных функций. Приведем наиболее часто используемые эквивалентности (при , см. таб. 4.1):

Таблица 4.1.

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Примеры.

1. 

Воспользовались эквивалентностью

4.3. Непрерывность функции Непрерывность функции в точке

Дадим три эквивалентных определения функции, непрерывной в точке.

Определение 4.22. Функция y = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке a, если .

Определение 4.23. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если   > 0   > 0  x из неравенства | x – a | <  следует неравенство |f(x) – f(a) | < .

Определение 4.24. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если приращение функции у = f (a + x) – f(a) в точке а стремится к нулю, когда приращение аргумента х = х – а стремится к нулю, т.е. . См. рис. 4.8.

Рис. 4.8

Если функция определена в некоторой окрестности точки а, но не является непрерывной в этой точке, то говорят, что она имеет разрыв в этой точке, точка а при этом называется точкой разрыва функции f (x).

Можно дать определение разрывности функции на языке ε-δ.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, тогда если и выполняются и , то разрывна в точке а.

Математическое определение непрерывности функции соответствует интуитивному понятию непрерывной кривой, в том смысле, что ее можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Разрывной функции соответствует разрывный график.

Свойства функций, непрерывных в точке.

1. Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

2. Если f (x) непрерывна в а и f(a)  0, то f (x) сохраняет знак числа f(a) в некоторой окрестности а.

3. Пусть f и g непрерывны в точке а. Тогда f ± g, fg, f / g (если g(a)  0) также непрерывны в точке а.

4. Непрерывность суперпозиции. Пусть f: Е  R, g: F  R, f (E)  F. Пусть f - непрерывна в точке а и g - непрерывна в точке f (a). Тогда непрерывна в а.