Контрольные вопросы

1. Вектор на оси, длина и алгебраическая величина вектора.

2. Вектор на плоскости и в пространстве. Коллинеарные вектора. Проекция вектора на ось.

3. Декартовы координаты вектора. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами.

4. Линейные операции над векторами.

5. Базис. Разложение вектора по базису.

6. Линейные операции над векторами в координатной форме.

7. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.

8. Выражение скалярного произведения через координаты. Формула для вычисления угла между векторами.

9. Векторное произведение векторов: определение и свойства.

10. Выражение векторного произведения через координаты. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.

11. Смешанное произведение векторов: определение и свойства.

12. Выражение смешанного произведения через координаты. Вычисление объема параллепипеда и треугольной пирамиды.

Лекция № 3. Аналитическая геометрия

3.1. Прямая на плоскости. Ее уравнения

Определение 3.1. Уравнение вида Ах + Ву + С = 0, где А, В и С – некоторые числа, называется уравнением первой степени.

В декартовой системе координат каждое уравнение первой степени определяет некоторую прямую и, обратно, каждая прямая определяется уравнением первой степени.

Рассмотрим различные типы уравнений прямой.

1. Общее уравнение прямой.

Уравнение вида

Ах + Ву + С = 0.  (3.1)

называется общим уравнением прямой.

Коэффициенты А и В в уравнении (3.1) являются координатами вектора нормали к этой прямой.

2. Неполные уравнения прямой.

Общее уравнение прямой (3.1) называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов А, В или С равен нулю. В противном случае уравнение называется полным.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений прямой.

1. С = 0, уравнение Ах + Ву = 0 определяет прямую, проходящую через начало координат;

2. В = 0, уравнение Ах + С = 0 определяет прямую, параллельную оси Оу, так как нормаль к этой прямой п = (А, 0) является нормалью и к оси Оу;

3. А = 0, уравнение Ву + С = 0 определяет прямую, параллельную оси Ох, так как нормаль к этой прямой п = (0, В) является нормалью и к оси Ох;

4. В = 0, С = 0, уравнение Ах = 0 равносильно уравнению х = 0 и определяет ось Оу;

5. А = 0, С = 0, уравнение Ву = 0 равносильно уравнению у = 0 и определяет ось Ох.

3. Уравнение прямой в отрезках.

(3.2)

Заметим, что числа a и b равны алгебраическим величинам отрезков, ОА и ОВ, которые прямая отсекает на координатных осях Ох и Оу, соответственно (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1

Уравнение прямой в отрезках удобно использовать при построении этой прямой.

4. Каноническое уравнение прямой.

Любой ненулевой вектор а = (т, п), параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.

Каноническое уравнение прямой – это есть уравнение прямой, проходящей через точку и параллельно вектору а = (т, п):

. (3.3)

Заметим, что каноническое уравнение следует понимать как пропорцию. Это означает, что если один из знаменателей окажется равным нулю, то нулю должен будет равняться и соответствующий числитель.

5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

или (3.4)

Эти уравнения эквивалентны.

6. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору п=(А, В).

(3.5)