Базис. Разложение вектора по базису
Определение 2.16. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Определение 2.17. Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарных вектора.
Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора.
Будем
говорить, что вектор а
раскладывается по векторам
,
или выражается через эти векторы,
если справедливо равенство
,
где
– некоторые числа.
Теорема
2.1. Любой вектор а на плоскости
может быть разложен по любому базису
на этой плоскости:
.
Любой вектор а в пространстве
может быть разложен по любому базису
в пространстве:
.
Причем в обоих случаях разложение
единственно.
В декартовой системе координат в качестве базиса выбирают векторы i, j, k, такие, что они лежат на координатных осях, имеют длину, равную единице, и направлены в положительную сторону. Векторы i, j, k называют ортонормированным базисом в пространстве.
По только что сформулированной теореме любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису i, j, k :
(2.6)
Причем числа x, y, z являются координатами вектора а, т.е. проекциями на оси Ох, Oy и Oz (см. рис. 2.7).
Таким образом, мы можем использовать две равносильные формы записи координат вектора а:
a=(х,
y, z)
и
.
Рис. 2.7
Если вектор а единичный (т.е. |a| = 1), а cos, cos и cos – направляющие косинусы вектора а, то
(2.7)
Т.е. направляющие косинусы являются координатами вектора единичной длины.
Линейные операции в координатной форме
Теорема 2.2. При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
В качестве следствия из этой теоремы можно получить условие коллинеарности двух векторов:
(2.8)
Таким образом, два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Отметим,
что здесь и далее любое отношение
следует понимать как пропорцию, т.е.
как равенство ad =
bc. Это означает,
что если один из знаменателей b
или d будет
равен нулю, то нулю должен равняться и
соответствующий числитель а или
с.
2.2. Скалярное произведение векторов
Определение 2.18. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение принято обозначать двумя способами: ab и (a, b). Мы будем использовать первое из обозначений:
ab = |a||b|cos . (2.9)
Перечислим свойства скалярного произведения.
.Свойство коммутативности: ab = ba.
Свойство линейности: (a + b)c = (ac) + (bc).
Скалярный квадрат является неотрицательным числом:
аа > 0, если а – ненулевой вектор,
аа = 0, если а – нулевой вектор.
Из этого свойства следует часто применяющаяся формула для вычисления длины вектора:
(2.10)
ab > 0 тогда и только тогда, когда угол между векторами острый; ab < 0 тогда и только тогда, когда угол тупой; ab = 0 тогда и только тогда, когда а и b перпендикулярны.
Пусть
теперь векторы а и b
заданы своими координатами: а=
и b=
.
Теорема 2.3. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
ab =
.
(2.11)
В
качестве следствия из этой теоремы
получаем формулу для вычисления косинуса
угла
между векторами a
и b:
(2.12)
Пример.
Векторы
=
2i – 6j,
=
i + 7j
и
=
–3i – j
образуют треугольник АВС. Найти
углы этого треугольника.
Решение. Пусть
– угол между
векторами
и
=
3i + j.
Найдем скалярное произведение этих
векторов по формуле (2.11):
.
Таким образом, векторы
и
перпендикулярны и
.
Пусть – угол
между векторами
= –2i +
6j и
.
Тогда по формуле (2.12)
.
Аналогично находим косинус третьего угла:
.