22. Производная функции, заданной параметрически

Определение 5.6. Говорят, что функция задана параметрически, если она задана уравне­ниями где t – параметр, пробегающий промежуток значений Т.

Теорема 5.4. Пусть функции x = x (t), y = y (t) имеют производные в окрестности некоторой точки t и . Тогда параметрически заданная функция имеет производную в этой точке, которая находится по формуле:

или (5.12)

5.5. Формула приближенного вычисления. Производные высших порядков

23. Формула приближенного вычисления

Напомним, что приращение дифференцируемой функции можно представить в виде .

Если ∆x мало, то приращение отличается от дифференциала на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ∆x. Отсюда имеем приближенное равенство

или .

Тогда

(5.13)

Это и есть формула приближенного вычисления.

24. Производные высших порядков

Определение 5.7. Пусть дифференцируема в точке . Если также дифференцируема в точке x , то значение выражения называется второй производной функции в точке x и обозначается или

По индукции определяется производная n-го порядка в точке x , как производная от производной (n – 1)-го порядка, и обозначается или

Разумеется, производная п-го порядка может существовать и не существовать. Но если функция имеет п-ю производную, то тем самым имеется ввиду, что она имеет все производные до (п – 1)-го порядка включительно.

Физический смысл второй производной: если – путь, пройденный точкой за время , то вторая производная пути по времени есть ускорение точки в момент времени , т.е. .

25. Формула Лейбница

Пусть функции n-раз дифференцируемы в точке x. Тогда функция также имеет производную порядка n, выражаемую формулой

(5.14)

где , а – биномиальный коэффициент,

Формула (5.14) называется формулой Лейбница.

5.6. Приложения производной функции

26. Правило Лопиталя

Теорема 5.5 (Лопиталя). Пусть функции непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a (а – число или ). Причем в любой точке этой окрестности и выполнено одно из условий:

Тогда если существует , то существует и , причем

(5.15)

( – число или ).

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида или . Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, но только конечное число раз, пока не исчезнет неопределенность. Подчеркнем еще раз, что теорема Лопиталя применима только в том случае, если предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

27. Раскрытие неопределенностей вида () ()

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида . Остальные виды неопределенностей приводятся к ним следующим образом:

1) (). Преобразование дает неопределенность вида .

2) (). Преобразование дает неопределенность вида , если f(x) – бесконечно малая функция, а g(x) бесконечно большая, или неопределенность вида , в противном случае.

3) Преобразуем функцию следующим образом: , тогда в степени получим неопределенность вида ().

Примеры: С помощью правила Лопиталя найти пределы следующих функций:

Здесь пришлось дважды применять формулу (5.15).