4 Построить прогноз по модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных
Спрогнозируем объем производства с помощью модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Модель для помесячной динамики имеет вид:
где
,
,
,
.
.
.
.
Занесем значение фиктивных переменных и фактора времени в таблицу (таблица 5.7).
Таблица 5.7 - Исходные данные для расчета параметров уравнения регрессии с фиктивными переменными во временном ряду доходов бюджета, (млн. р.)
Период |
Доход, млн. р. |
t |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
x9 |
x10 |
x11 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 |
январь |
1119,3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
124,4 |
февраль |
352,2 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
43,3 |
|
март |
1006,9 |
3 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
895,2 |
|
апрель |
1177,8 |
4 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1078,1 |
|
май |
1084,4 |
5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
965,5 |
|
июнь |
891,4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
572,0 |
|
июль |
928,2 |
7 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
938,5 |
|
август |
1178,4 |
8 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1214,3 |
|
сентябрь |
989,4 |
9 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
589,1 |
|
октябрь |
932,2 |
10 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1072,8 |
|
Продолжение таблицы 5.7
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
ноябрь |
1080,4 |
11 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1412,4 |
декабрь |
1243,5 |
12 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1414,2 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
6 |
январь |
1573 |
61 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2098,1 |
февраль |
1521,5 |
62 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2016,9 |
|
март |
3215,2 |
63 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
2868,8 |
|
апрель |
2872,5 |
64 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
3051,7 |
|
май |
3792,4 |
65 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2939,1 |
|
июнь |
2721,7 |
66 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2545,7 |
|
июль |
3097,2 |
67 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2912,1 |
|
август |
4229,2 |
68 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
3187,9 |
|
сентябрь |
2119,6 |
69 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
2562,7 |
|
октябрь |
3756,5 |
70 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
3046,4 |
|
ноябрь |
3416,1 |
71 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
3386,0 |
|
декабрь |
3478,7 |
72 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
3387,8 |
|
7* |
январь |
- |
73 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2492,8 |
февраль |
- |
74 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2411,6 |
|
март |
- |
75 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
3263,5 |
|
апрель |
- |
76 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
3446,4 |
|
Оценим параметры уравнения традиционным МНК с помощью табличного редактора Excel (таблица 5.8).
Уравнение регрессии примет вид:
.
Таблица 5.8 - Результаты оценивания регрессионной модели с фиктивными переменными
Регрессионная статистика |
||||||||||||
Множественный R |
0,898 |
|||||||||||
R-квадрат |
0,800 |
|||||||||||
Нормированный R-квадрат |
0,760 |
|||||||||||
Стандартная ошибка |
440,663 |
|||||||||||
Наблюдения |
72 |
|||||||||||
Дисперсионный анализ |
||||||||||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|||||||
Регрессия |
12 |
46001035 |
3833420 |
19,74 |
0,000 |
|||||||
Остаток |
59 |
11456867 |
194184,2 |
|
|
|||||||
Итого |
71 |
57457903 |
|
|
|
|||||||
|
||||||||||||
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
||||||
a |
1019,50 |
209,02 |
4,88 |
0,00 |
601,24 |
1437,75 |
||||||
b |
32,89 |
2,53 |
12,98 |
0,00 |
27,82 |
37,96 |
||||||
c1 |
-927,95 |
255,94 |
-3,63 |
0,00 |
-1440,09 |
-415,82 |
||||||
c2 |
-1042,01 |
255,68 |
-4,08 |
0,00 |
-1553,62 |
-530,41 |
||||||
c3 |
-223,02 |
255,44 |
-0,87 |
0,39 |
-734,15 |
288,11 |
||||||
c4 |
-73,02 |
255,22 |
-0,29 |
0,78 |
-583,72 |
437,68 |
||||||
c5 |
-218,44 |
255,03 |
-0,86 |
0,40 |
-728,77 |
291,88 |
||||||
c6 |
-644,82 |
254,87 |
-2,53 |
0,01 |
-1154,82 |
-134,83 |
||||||
c7 |
-311,25 |
254,73 |
-1,22 |
0,23 |
-820,97 |
198,47 |
||||||
c8 |
-68,38 |
254,62 |
-0,27 |
0,79 |
-577,87 |
441,12 |
||||||
c9 |
-726,47 |
254,53 |
-2,85 |
0,01 |
-1235,78 |
-217,15 |
||||||
c10 |
-275,65 |
254,47 |
-1,08 |
0,28 |
-784,83 |
233,54 |
||||||
c11 |
31,04 |
254,43 |
0,12 |
0,90 |
-478,07 |
540,16 |
||||||
Параметры
,
характеризуют отклонения уровней
временного ряда от уровней, учитывающих
сезонные воздействия в декабре. Величина
параметра
говорит о том, что в среднем за месяц
происходит увеличение доходов бюджета
на 32,89 млн. р. (рисунок 5.3).
Чтобы получить прогнозные значения доходов бюджета на следующие 4 месяца 7 года необходимо в уравнение регрессии подставить следующие значения фактора времени t.
Так прогноз на январь составит:
;
на февраль:
;
на март:
;
на апрель:
.
Р
исунок
5.3 - Моделирование сезонных колебаний
доходов бюджета с помощью фиктивных
переменных
5 По данным приложения Б для своего варианта оцените тесноту и направление связи между указанными признаками, а также постройте уравнение регрессии по первым разностям, по отклонениям от тренда и уравнение регрессии с включением фактора времени
По данным таблицы 5.9 оценим влияние энерговооруженности (кВт/ч) на выпуск продукции (тыс. т), используя все известные способы.
Таблица 5.9 – Исходные данные для проведения корреляционного и регрессионного анализа по временным рядам
Годы |
Выпуск продукции, тыс. т y |
Энерговооруженность, кВт/ч x |
1 |
325,69 |
15,69 |
2 |
340,79 |
16,69 |
3 |
349,39 |
17,69 |
4 |
373,59 |
19,09 |
5 |
389,79 |
20,79 |
6 |
399,09 |
21,69 |
7 |
421,49 |
23,09 |
8 |
441,39 |
24,09 |
9 |
458,29 |
25,19 |
10 |
472,33 |
26,58 |
11 |
489,02 |
27,81 |
Корреляция и регрессия по первым разностям.
Для оценки тесноты связи по первым разностям используем формулу:
.
где
,
- первые разности
Построим вспомогательную таблицу 5.10.
Таблица 5.10 – Расчет коэффициента корреляции
t |
y |
x |
|
|
|
|
|
1 |
325,69 |
15,69 |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
340,79 |
16,69 |
15,10 |
1,00 |
15,10 |
1,52 |
0,04 |
3 |
349,39 |
17,69 |
8,60 |
1,00 |
8,60 |
59,81 |
0,04 |
4 |
373,59 |
19,09 |
24,20 |
1,40 |
33,88 |
61,88 |
0,04 |
5 |
389,79 |
20,79 |
16,20 |
1,70 |
27,54 |
0,02 |
0,24 |
6 |
399,09 |
21,69 |
9,30 |
0,90 |
8,37 |
49,47 |
0,10 |
7 |
421,49 |
23,09 |
22,40 |
1,40 |
31,36 |
36,80 |
0,04 |
8 |
441,39 |
24,09 |
19,90 |
1,00 |
19,90 |
12,72 |
0,04 |
9 |
458,29 |
25,19 |
16,90 |
1,10 |
18,59 |
0,32 |
0,01 |
10 |
472,33 |
26,58 |
14,04 |
1,39 |
19,49 |
5,28 |
0,03 |
11 |
489,02 |
27,81 |
16,70 |
1,23 |
20,48 |
0,13 |
0,00 |
Итого |
4460,86 |
238,39 |
163,33 |
12,12 |
203,32 |
227,95 |
0,59 |
В среднем |
405,53 |
21,67 |
16,33 |
1,21 |
20,33 |
22,80 |
0,06 |
Подставляя в формулу наши данные, получим:
.
Следовательно, можно сделать вывод о наличии прямой связи средней силы скорости ряда энерговооруженности 1 рабочего и скорости ряда выпуска продукции.
Для оценки параметров уравнения регрессии по первым разностям воспользуемся встроенной функцией MS Excel. Результаты оценивания представлены в приложении В.
Уравнение регрессии примет вид:
.
Оно показывает, что рост скорости энерговооруженности 1 рабочего на 1 кВт/ч, способствует росту скорости для ряда выпуска продукции на 13,6 тыс. тонн.
Прогнозирование осуществим по формуле:
.
Прогноз выпуска продукции на 2006 год, при ожидаемом увеличении энерговооруженности на 1 кВт/ч относительно 11 года, составит:
тыс.
тонн.
Корреляция и регрессия по отклонениям от тренда
Коэффициент корреляции по отклонениям от тренда имеет вид:
,
где
,
-
отклонения фактических значений ряда
от тренда, т.е.
,
.
В качестве аппроксимирующей модели примем линейный тренд. Оценим параметры трендов с помощью встроенной функции MS Excel. Результаты представлены на рисунках 5.4 и 5.5.
Рисунок 5.4 – Динамика выпуска продукции
Рисунок 5.5 – Динамика энерговооруженности рабочих
Таблица 5.11 – Расчет коэффициента корреляции по остаточным величинам
t |
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
325,69 |
15,69 |
322,04 |
15,54 |
3,65 |
0,15 |
0,55 |
13,33 |
0,02 |
2 |
340,79 |
16,69 |
338,74 |
16,77 |
2,05 |
-0,08 |
-0,16 |
4,22 |
0,01 |
3 |
349,39 |
17,69 |
355,43 |
17,99 |
-6,04 |
-0,30 |
1,83 |
36,53 |
0,09 |
4 |
373,59 |
19,09 |
372,13 |
19,22 |
1,46 |
-0,13 |
-0,19 |
2,12 |
0,02 |
5 |
389,79 |
20,79 |
388,83 |
20,45 |
0,96 |
0,34 |
0,33 |
0,92 |
0,12 |
6 |
399,09 |
21,69 |
405,53 |
21,67 |
-6,44 |
0,02 |
-0,11 |
41,45 |
0,00 |
7 |
421,49 |
23,09 |
422,23 |
22,90 |
-0,74 |
0,19 |
-0,14 |
0,54 |
0,04 |
8 |
441,39 |
24,09 |
438,92 |
24,13 |
2,47 |
-0,04 |
-0,09 |
6,08 |
0,00 |
9 |
458,29 |
25,19 |
455,62 |
25,35 |
2,67 |
-0,16 |
-0,43 |
7,12 |
0,03 |
10 |
472,33 |
26,58 |
472,32 |
26,58 |
0,01 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
11 |
489,02 |
27,81 |
489,02 |
27,81 |
0,01 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
12 |
- |
- |
505,72 |
29,03 |
- |
- |
- |
- |
- |
Итого |
4460,86 |
238,39 |
4460,81 |
238,39 |
0,05 |
-0,01 |
1,59 |
112,32 |
0,32 |
В среднем |
405,53 |
21,67 |
405,53 |
21,67 |
0,00 |
0,00 |
0,14 |
10,21 |
0,03 |
Тогда коэффициент корреляции рядов x и y по отклонениям от тренда составит:
.
Следовательно,
связь между случайными отклонениями
по ряду
и ряду
прямая слабая.
Регрессия
по отклонениям от тренда
имеет вид
.
Оценим
параметры модели с помощью встроенной
функции MS
Excel.
Результаты оценивания представлены в
приложении Г.
Уравнение регрессии примет вид:
.
Коэффициент регрессии означает, что случайные отклонения по ряду в среднем в 18,55 раз выше случайных колебаний по ряду .
Прогнозная модель по отклонениям от тренда имеет вид:
,
где
- прогнозное значение результативного
признака;
-
прогноз по тренду результативного
признака;
-
прогнозное значение факторного признака;
-
прогноз по тренду факторного признака.
Тогда, подставив соответствующие значения в модель, получим прогноз выпуска продукции на 12 год, при ожидаемой энерговооруженности =28,81 кВт/ч:
тыс.
тонн.
Регрессия по уровням ряда с включением фактора времени
Модель регрессии с включением фактора времени имеет вид:
.
Параметры такого уравнения также находится МНК. Оценим их используя встроенную функцию MS Excel. Результаты оценивания представлены в приложении Д.
Уравнение регрессии примет вид:
.
Параметр фиксирует силу связи с , т.е. с ростом энерговооруженности на 1кВт/ч, выпуск продукции в среднем возрастает на 4,98 тыс. тонн.
Параметр c характеризует среднегодовой абсолютный прирост результативного показателя под воздействием прочих факторов, при закреплении фактора на постоянном уровне. Иными словами, изменение прочих факторов, кроме энерговооруженности, ведет к увеличению выпуска продукции ежегодно на 10,59 тыс. тонн при условии неизменности энерговооруженности.
Прогноз на 12 год при ожидаемой энерговооруженности =28,81 кВт/ч составит:
тыс.
тонн.