2.2. Задачи с решением

1. В конце каждого года на счет вносится 3000 рублей. Определите, какая сумма будет на счете через 3 года, если на вложенные средства начисляются проценты по ставке 14% годовых (сложные).

Необходимо определить будущую стоимость аннуитета (постнумерандо, постоянный, годовой, ограниченный).

По условию задачи: R = 3000 руб., n = 3 года, r = 0,14.

Возможны несколько вариантов записи решения данной задачи:

а) FVpst =

б) = = 10 318.8 руб.

Использование этих двух вариантов возможно, поскольку аннуитет является постоянным. По истечении 3 лет на счете будет находиться 10 318,8 руб.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =БС(0,14;3;-3000;;0)

2. Вы намерены приобрести дачу и для этой цели планируете накопить 1000 тысяч руб. в течение 5 лет. Каким должен быть ежеквартальный взнос в банк (постнумерандо), если банк предлагает 12% годовых, начисляемых ежеквартально.

В данной задачи необходимо определить величину платежа постоянного р- срочного ограниченного аннуитета постнумерадо.

По условию задачи:

FVpst = 1000 000 руб., p = 4, r = 0,12, m=4.

,

R = 10 000 * 372215,71 руб.

Таким образом, ежеквартальный взнос должен составлять 372215,71 руб.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =ПЛТ(0,12/4;5*4;;1000000;0)

3. Какой необходим срок для накопления 60 тыс. руб. при условии, что ежегодно вносится по 10 тыс.руб. по схеме постнумерандо, а на накопленные фонды начисляются проценты по ставке 9 % годовых.

Необходимо определить срок постоянного годового аннуитета постнумерандо.

По условию задачи FVpst = 60 000 руб., R = 10 000 руб., r = 0,09.

n = = = 5 лет

Следовательно, срок аннуитета должен составлять 5 лет.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =КПЕР(0,09;-10000;;60000;0)

4. Господин В. вкладывает 25 000 рублей в начале каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 8% годовых с ежеквартальным начислением (сложные). Какая сумма будет на счету Петрова через 4 года.

Необходимо определить будущую стоимость постоянного годового ограниченного аннуитета пренумерандо.

По условию задачи R = 25 000 руб.. n = 4 года, r = 0,08, m = 4.

а) FVpre = 25 000 = 122377,96 руб.

или

б) FVpre = FVpst*

FVpre = 25 000*

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =ЭФФЕКТ(0,08;4)

Получаем значение эффективной ставки 0,082432. Рассчитываем будущую стоимость пренумерандо: =БС(0,082432;4;-25000;;1)

5. Определите современную стоимость переменного потока платежей на основе следующих данных:

Год	1	2	3	4
Платеж, руб.	100	150	20	370
Ставка, %	10	10	10	10

Осуществите расчет для двух вариантов:

а) платежи производятся в конце периода,

б) платежи производятся в начале периода.

Необходимо рассчитать современную стоимость переменного годового ограниченного аннуитета.

По условию R₁ = 100руб., R₂ = 150руб, R₃ = 20руб, R₄ = 370руб., r = 0,1, n= 4 года.

а) определим стоимость постнумерандо

PVpst =

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =ЧПС(0,1;100;150;20;370)

б) определим стоимость пренумерандо

PVpre = 100 +

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =ЧПС(0,1;100;150;20;370)

Затем рассчитываем современную стоимость пренумерандо:

PV_pre = 482.617 * (1+0,1) = 530.878 руб.

6. Определите, какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих 5 лет иметь возможность снимать со счета каждый год по 100 тыс. руб. по схеме постнумерандо (пренумерандо), исчерпав весь счет к концу этого срока, если банк начисляет проценты по ставке 10 % годовых (сложные).

Необходимо определить современную стоимость постоянного годового ограниченного аннуитета постнумерандо (пренумерандо).

По условию задачи R = 100 000 руб., n = 5 лет, r = 0,1.

а) PVpst = 100 000 *

Следовательно, сегодня необходимо разместить на счете 379 078,68 руб.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =ПС(0,1;5;-100000;;0)

б) +1) = 416986.54 руб.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =ПС(0,1;5;-100000;;1)

8. Рассчитайте текущую стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 100 руб. в конце каждого года при годовой процентной ставке 10%.

Необходимо определить современную стоимость бессрочного годового аннуитета постнумерандо.

По условию задачи R = 100 руб.,r = 0,1.

PVpst = =

Следовательно, современная стоимость вечного аннуитета составит 1000 руб.

9. Получены в долг 70 000 рублей с условием ежемесячной выплаты по 2 500 рублей ежемесячно в течение 4 лет по схеме постнумерандо. Определите величину ставки по данному обязательству.

В задаче представлен аннуитет постнумерандо р- срочный ограниченный постоянный. PV_pst = 70 000, n= 4, p = 12, R = 2500.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =СТАВКА(12*4;-2500;70000;;0)

Доходность данной операции выражается периодической ставкой 2,4581% (с ежемесячной капитализацией) или номинальной годовой ставкой 29,4972%.

10. Под залог недвижимости выдана ссуда в размере 240 000 рублей на 10 лет. Погашение осуществляется ежемесячно по схеме постнумерандо. На долг начисляются проценты по ставке 12% годовых ежемесячно. Определите ежемесячные расходы должника, а также остаток долга на начало 3 месяца.

Для решения данной задачи воспользуемся условиями стандартной ипотечной ссуды. Она предполагает равные ежемесячные взносы по схеме постнумерандо.

По условию задачи:

PVpst = 240 000 руб., r = 0,12, m = 12, n = 10 лет, p = 12.

Определим величину ежемесячного платежа

R = 240 000 *

R состоит из расходов на уплату сумму процентов (R₁) и платежей в погашение долга (R₂):

R= R₁ + R₂

R₁ за 1 месяц = 240 000 * = 2400 руб.

R₂ за 1 месяц = 3443,3 – 2400 = 1043,3 руб.

Остаток долга на конец 1 месяца D₁= 240 000 -1043,3 = 238965,7 руб.

Схема погашения ссуды отражена в таблице.

Месяц	Остаток ссуды на начало месяца	Сумма платежа за месяц	В том числе		Остаток ссуды на конец месяца
			Проценты за месяц	Погашенная часть долга
1	240 000	3443,3	2400	1043,3	238956,7
2	238956,7	3443,3	2389,57	1053,73	237902,97
3	237902,97	3443,3	2379,03	1064,27	236838,7
…
120	3409,2	3443,3	34,10	3409,2	0

Остаток долга на начало третьего месяца можно определить и на основе следующей формулы:

Воспользуемся EXCEL для решения задачи:

=ПЛТ(0,12/12;10*12;240000;;0)

Таким образом, получаем величину ежемесячного платежа в погашение задолженности - 3443,3 руб.

Затем рассчитываем сумму, направленную на погашение основного долга за два месяца: =ОБЩДОХОД(0,12/12;12*10;240000;1;2;0)

Рассчитаем остаток долга на начало третьего месяца:

D₃ = 240000 – 2097,038551 = 237902,9614 руб.

Продемонстрируем на основе данных задачи использование еще нескольких финансовых функций.

=ОБЩПЛАТ(0,12/12;12*10;240000;1;2;0)

=ОСПЛТ(0,12/12;1;10*12;240000;;0)

=ПРПЛТ(0,12/12;1;12*10;240000)

7. Определите современную стоимость аннуитета постнумерандо продолжительностью 5 лет, который не предполагает никаких поступлений в первые два года и равные поступления в 1000 рублей в оставшиеся годы, если ставка составляет 5% годовых для первых двух лет и 8% годовых для оставшихся трех лет.

Необходимо определить современную стоимость постоянного годового ограниченного аннуитета постнумерандо.

Особенность данного потока состоит в том, что момент начала выплат не совпадает с началом срока аннуитета. Такой аннуитет называется отложенным или отсроченным.

По условию задачи R = 1000 руб., n₁ = 2 года, n₂ = 3 года, r₁ = 0,05, r₂ = 0,08.

Рассчитаем стоимость потока на момент начала выплат:

PVpst = 1000 *

Для получения современной стоимости потока необходимо полученную стоимость привести к моменту оценки:

PVpst = 2577,09* = 2337,5 руб.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи: =ПС(0,08;3;-1000;;0), получаем 2 577,09 руб. Затем =ПС(0,05;2;;2577,09;0), получаем современную стоимость отсроченного потока платежей 2337,5 руб.

11. Предполагается в конце каждого полугодия снимать со счета 8000 рублей и в конце 4 года исчерпать счет полностью. Банк должен начислять проценты по ставке 12% годовых с полугодовым начислением. Какую сумму можно снимать со счета ежеквартально, если проценты будут начисляться ежеквартально?

По условию задачи постоянный аннуитет постнумерандо характеризуется следующими параметрами р = 2, R = 8000, n = 4, r = 0,12 при m = 2. Необходимо определить величину платежа заменяющей ренты, у которой р = 4, n =4, r = 0,12 при m =4.

49678,35 = R * 12,5611

R = 3954,935 руб.

Со счета можно снимать ежеквартально 3954,935 руб., если проценты будут начисляться ежеквартально.

Воспользуемся EXCEL для решения задачи:

=ПС(0,12/2;4*2;-8000;;0). Получаем 49678,35 руб. Затем приравниваем полученное значение современной стоимости заменяющего аннуитета и рассчитываем величину платежа.

=ПЛТ(0,12/4;4*4;49678,35;;0)

11. Постоянный аннуитет постнумерандо сроком 4 года откладывается на 2 года без изменения величины ежегодного платежа. Определите новый срок аннуитета при ставке сложных процентов 20% годовых.

По условию задачи постоянный аннуитет постнумерандо характеризуется следующими параметрами R, n = 4, r = 0,2. Необходимо определить срок заменяющей ренты (отсроченный или отложенный аннуитет): R ₂ = R₁, r ₂ = r₁ = 0,2, эти параметры не меняются. n₂ -?

*(1+0,2)^-2

Приравняем современные стоимости двух рент:

= *(1+0,2)^-2

Рассчитаем срок новой ренты: = *(1+0,2)^-2

n₂ = 7,5 (г.)