3.1.2. Оценка истинного значения измеряемой величины

Математическая обработка результатов прямых измерений с многократными измерениями проводится по ГОСТ 8.207–76. Пусть в результате п наблюдений величины x , проведенных с одинаковой точностью, получен ряд значений: x₁, x_2, x₃... x_n. Будем считать, что все результаты измерений содержат только случайные и систематические погрешности неизвестной величины. В соответствии с требованиями указанного стандарта при статистической обработке этих результатов с целью получения оценки истинного значения измеряемой величины и доверительных границ погрешности результата измерения необходимо выполнить следующие операции:

– исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

– проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

– исключить грубые погрешности из результатов наблюдений;

– вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

– вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

– вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения;

– вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения;

– вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Будем считать, что первая операция уже выполнена, и результаты наблюдений x₁, x_2, x₃... x_n содержат только случайные погрешности и систематические погрешности неизвестной величины.

Проверку принадлежности результата наблюдений нормальному распределению проводят только в тех случаях, когда есть основания в этом сомневаться. При числе наблюдений п более 100 для этой цели используют критерий Пирсона., а при n > 50 – критерий Мизеса–Смирнова. При числе наблюдений 15 < n < 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению используют составной критерий, рекомендуемый ГОСТ 8.207–76.

Для нормального закона распределения числовыми характеристиками являются математическое ожидание m_x и дисперсия . Математическое ожидание характеризует положение результата измерения на числовой оси, а дисперсия является мерой разброса результатов наблюдений относительно математического ожидания. При ограниченном числе наблюдений можно найти только выборочные оценки параметров закона распределения.

Выборочной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое результатов наблюдений:

. (3.1)

Выборочную дисперсию вычисляют по формуле

(3.2)

Выборочная оценка среднего квадратического отклонения результата наблюдения принимается равной корню квадратному из дисперсии

(3.3)

и определяет среднюю квадратическую погрешность отдельного наблюдения. При практических вычислениях можно пользоваться более удобной формулой

.

Средняя квадратическая погрешность результата измерения

.

После вычисления выборочных оценок закона распределения по формулам (3.1), (3.2) и (3.3) можно переходить к выполнению остальных этапов математической обработки.

3.1.3. Исключение анормальных значений

Грубые погрешности измерений являются результатом поломки прибора или недосмотра экспериментатора, и результат, содержащий грубую погрешность, резко отличается по величине. Наличие грубой погрешности в выборке значений случайной величины нарушает характер распределения, изменяет его параметры. Результат наблюдения, содержащий грубую погрешность, будем называть анормальным. Правила оценки анормальности результатов наблюдений установлены ГОСТ 11.002–73.

Для упорядоченной выборки наблюдений

анормальными могут быть х₁ и х_n. Чтобы принять решение об исключении или оставлении подозрительного результата в составе выборки, вычисляют нормированное отклонение этого результата от центра распределения:

Среднее арифметическое и выборочную оценку среднеквадратического отклонения вычисляют по всем элементам выборки, включая и результаты, подозреваемые в анормальности.

Вычисленное значение или сравнивают с известным предельным значением h (при заданном числе опытов n и доверительной вероятности Р). Если окажется, что или , то результат, для которого выполняется данное неравенство, считается анормальным и его необходимо исключить из дальнейших расчетов. Предельные значения величины h приведены в табл. 3.1.