3.2. Обработка результатов экспериментального изучения функциональных зависимостей

Экспериментальные исследования обобщаются в такой последовательности: находят функциональные связи, устанавливают основные закономерности, раскрывают физическую сущность закономерностей, математически выражают их, а затем теоретически обобщают и развивают.

Функциональные связи легче всего найти, если данные опытов представить в виде таблиц и графиков.

Полученные в таблицах ряды цифр или кривые графиков вследствие разных причин могут изменяться неплавно. Для устранения этого применяют сглаживание. Физическим основанием сглаживания (выравнивания) кривых является плавность изменения функции при плавном изменении аргумента.

Сглаживание проводят либо математическими, либо графическими методами.

Фундаментальными методами математического сглаживания, дающими наиболее вероятный результат желаемой точности, являются разнообразно применяемые методы наименьших квадратов.

При сглаживании предполагают постоянство шага таблиц и графиков. Тогда, избрав по физическим соображениям начало или конец таблицы (графика), берут подряд несколько (нечетное количество) значений результатов опыта, находят их среднее арифметическое и этим значением заменяют опытное значение серединной из взятых точек, затем эту операцию повторяют, передвигаясь каждый раз на один интервал таблицы (графика). Если потребуется, сглаживание повторяют, учитывая вновь полученные средние арифметические значения.

При многократном сглаживании может возникнуть ошибка. Чтобы этого не случилось, следует после каждого сглаживания брать сумму квадратов отклонения сглаженных значений функции от опытных точек. Наименьшая сумма квадратов отклонений будет соответствовать оптимальному сглаживанию.

3.2.1. Регрессия

Термин регрессия ввел в употребление Ф. Гальтон – один из создателей математической статистики. Впоследствии слово «регрессия» заняло в статистике заметное место: оно означает статистическую связь между случайными величинами.

Анализ процессов приводит к необходимости выявления существенных факторов, влияющих на исследуемый процесс, а также к выбору формы между факторами и оценке параметров полученной связи.

Будем считать, что некоторый процесс характеризуется двумя варьируемыми величинами x и y , из которых x выбирается как независимая, а y – как зависимая переменная величина. Предположим, что между переменными x и y существует однозначное соответствие, т.е. каждому значению независимой переменной величины x соответствует с заданной степенью точности одно значение зависимой переменной.

При экспериментальном изучении функциональной зависимости одной физической переменной от другой

y=F(x)

измеряются значения величины y при нескольких значениях аргумента x. При каждом значении х=х_i (i=1,2,…,n) проводится m_i повторных наблюдений, результаты которых y_ik(K=1,2,…,m_i) используются для вычислений средних значений

и выборочных оценок дисперсий

.

Для дальнейшей математической обработки результатов эксперимента необходимо соблюдение следующих условий:

• погрешность в определении аргумента х должна быть значительно меньше, чем погрешность у ;

• результаты наблюдений должны представлять собой независимые нормальные распределенные случайные величины,

• выборочные дисперсии должны быть однородны.

Последнее условие проверяется по методике, описанной в 2. Если выборочные дисперсии однородны, то они усредняются. Полученная при этом величина характеризует воспроизводимость эксперимента и называется дисперсией воспроизводимости:

.

Величина, стоящая в знаменателе этого выражения, представляет собой число степеней свободы дисперсии воспроизводимости:

.

Зависимость генерального среднего от величины х называется регрессией. Обычно уравнение представляет собой многочлен. Выбор степени многочлена осуществляется, как правило, исходя из теоретических соображений или упрощенного представления результатов измерений. Таким образом, определения зависимости у=F(x) сводится к определению параметров коэффициентов многочлена. Поскольку значения функции содержат погрешности, то по ним нельзя точно определить коэффициенты уравнения регрессии. Можно лишь получить достаточно хорошие оценки этих параметров. Наиболее удобен и прост для этой цели метод наименьших квадратов. Сущность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Предположим, что измерения значений у независимы, а погрешности подчиняются нормальному закону распределения. Тогда для равноточных измерений оценки параметров определяют из условий минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений от кривой y=f(x). Условием минимума является равенство нулю частных производных по всем коэффициентам. В случае многочлена m степени это дает систему m+1 уравнений с m+1 неизвестными:

Раскрывая скобки и выполняя суммирование, получим:

,

, (3.6)

.

Коэффициенты а₀ , а₁ ,… а_m , найденные в результате решения системы (3.6), обеспечивают многочлену минимальное квадратичное отклонение от заданных точек.

Рис.3.1. Зависимость между измеряемыми величинами

При обработке экспериментальных данных часто строят различные графики, пользуясь декартовой (прямоугольной) системой координат (рис. 3.1). Иногда зависимости между измеряемыми величинами х и у носят линейный характер, поэтому экспериментальные точки группируются около некоторой прямой линии.

В случае линейной зависимости типа у=а+bх решается система нормальных уравнений

.

При этом получаются следующие выражения для коэффициентов:

;

.

После того, как определены коэффициенты уравнения регрессии, необходимо определить погрешность. Такая оценка осуществляется методами регрессивного и корреляционного анализов.

Регрессивный анализ состоит в оценке значимости коэффициентов регрессии и проверке адекватности полученного уравнения.

Оценка значимости коэффициентов проводится по критерию Стьюдента. Вначале вычисляются отношения

и ,

Вычисленные отношения t_a и t_b сравниваются с табличными коэффициентами в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы f=f_воспр.. Если окажется, что t > t_табл., то коэффициент считается значимым, в противном случае – незначимый. Если окажется, что один из коэффициентов а или в незначим, то оставшийся коэффициент должен быть пересчитан. Если незначим оказался коэффициент а , то в пересчитывается по формуле

.

Если незначимым оказался коэффициент b , то для пересчета a справедлива формула

.

После проверки значимости коэффициентов проверяют адекватность полученного уравнения. С этой целью вычисляется дисперсия адекватности , характеризующая разброс средних относительно расчетных значений :

.

Выражение n–l представляет собой число степеней свободы дисперсии адекватности, где l число коэффициентов в уравнении регрессии. Проверка адекватности заключается в нахождении дисперсии воспроизводимости к дисперсии адекватности по критерию Фишера. Если отношение окажется меньше табличного для доверительной вероятности Р и чисел степеней свободы , то уравнение адекватно эксперименту.

При одинаковом числе параллельных опытов можно воспользоваться следующими формулами:

(3.7)

Если параллельные опыты не проводили, то для расчета дисперсии воспроизводимости можно поставить дополнительную серию из m₀ опытов, для которой

.

Дисперсия адекватности в этом случае вычисляется по формуле (3.7) при m=1.

Если поставить новую серию опытов для оценки дисперсии воспроизводимости нельзя, то адекватность уравнения можно проверить, используя следующие формулы:

Вычисленное значение критерия Фишера сравнивается с табличным при числе степеней свободы . Чем больше рассчитанное значение критерия Фишера превышает табличное, тем более адекватно уравнение.

Уравнение , в которое подставлены найденные значения коэффициентов, принято называть уравнением линейной регрессии. Пользуясь этим уравнением, можно, не проводя дальнейших опытов, рассчитать для заданного х соответствующее значение у. Таким образом, с помощью уравнения регрессии можно прогнозировать величину у. Разумеется, такой прогноз не будет абсолютно точным. Близость прогнозируемого значения у к фактическому значению зависит в основном от точности, с которой выполняется эксперимент, и от того, насколько существующая зависимость между у и х близка в действительности к линейной.

Расчеты коэффициентов линейной регрессии всегда выполняются по одним и тем же формулам и требуют при ручном счете значительных затрат времени. Чтобы избавить исследователей от этой рутинной работы, применяют персональный компьютер.

По этой программе вычисляются не только коэффициенты уравнения регрессии, но и среднее квадратичное отклонение расчетных значений у от экспериментальных.

Программа оказалась достаточно простой и удобной для использования, но, к сожалению, область ее применения ограничена только линейными зависимостями. Однако нужно иметь в виду, что некоторые нелинейные зависимости можно преобразовать в линейные.

Например, гиперболическая связь у=а₀+а₁/х линеаризуется заменой переменной z=1/х, тогда у=а₀+а₁z.

Показательная связь ^: линеаризуется путем логарифмирования:

Степенная связь после логарифмирования линеаризуется заменой тогда .

Логарифмическая связь линеаризуется заменой ; тогда .

Комбинированная связь линеаризуется заменой ; тогда .

Широкое использование линейных зависимостей и связей, легко приводимых к линейным, объясняется следующим. Линейные связи просты и требуют относительно малого объема вычислений, а методика их установления более глубоко разработана.

Многие зависимости между величинами носят нелинейный характер. С целью определения вида зависимости между экспериментально изучаемыми величинами следует на основе результатов опыта построить эмпирическую линию регрессии (рис. 3.2) Для этого весь диапазон изменения величины х разбивают на k равных интервалов длиной x. Все точки, попавшие в интервал с номером j, относят к его середине x_i.

Для каждого интервала j вычисляют среднее арифметическое значение

где п_j число точек в интервале с номером j.

Затем последовательно соединяют точки с координатами (х_j, ) отрезками прямых линий Полученная ломаная линия – это эмпирическая линия регрессии. По виду этой линии можно подобрать соответствующую формулу, например одну из тех, которые приведены в табл. 3.5.

Рис. 3.2. Эмпирическая линия регрессии

Задачу определения коэффициентов, входящих в уравнение регрессии, решают обычно с помощью ЭВМ, применяя метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, что путем варьирования коэффициентов подбираются такие их значения, которые минимизируют сумму квадратов отклонений расчетных значений у от экспериментальных.

Качество всякой проделанной работы принято оценивать по конечному результату. Так и качество уравнения регрессии оценивают по его прогнозирующей способности. Уравнение хорошо прогнозирует экспериментальные данные, т.е. уравнение адекватно описывает эти данные, если расхождения между расчетными и экспериментальными значениями находятся в допустимых пределах.

Существует несколько способов проверки адекватности уравнения регрессии. Например, для этих целей можно использовать корреляционное отношение  и среднюю относительную ошибку прогнозирования  (в %), которые рассчитываются по следующим формулам:

где y_э , y_p , и экспериментальное, расчетное и среднее значение величины y; п – количество экспериментальных значений y, использованных для проверки адекватности.

Таблица 3.5.

Коэффициенты расчетных зависимостей, полученные методом наименьших квадратов

Вид зависимости	Уравнение регрессии	Выражение для определения коэффициентов
Линейная		;
Гиперболическая
Степенная
Показательная
		Для поиска и в формулах заменить lg на ln
Экспоненциальная
Показательная
Примечание: Во всех формулах знак эквивалентен