3.1.4. Оценка результата измерения и его среднего квадратического отклонения
За результат измерения принимается среднее арифметическое результатов наблюдений, оставшихся после исключения грубых погрешностей:
где N - число результатов наблюдений, оставшихся после исключения грубых погрешностей.
Среднее квадратическое отклонение результата наблюдения оценивается по формуле
(3.4)
Эта величина характеризует погрешность метода измерения и используется для оценки среднего квадратического отклонения результата измерения:
.
Из последней формулы вытекает возможность уменьшения случайной погрешности результата измерения при увеличении числа измерений.
3.1.5. Определение доверительных границ случайной погрешности результата измерения
При эксперименте наиболее распространенным является случай, когда измеряемая величина имеет заведомо нормальное распределение, причем выборка мала. Раздел математической статистики, посвященный обработке малых выборок (2 N 15), называется микростатистикой.
Таблица 3.1.
Число наблюдений в выборке n |
Предельные значения h при вероятности P |
|||
0,900 |
0,925 |
0,950 |
0,975 |
|
3 |
1,15 |
1,15 |
1,15 |
1,15 |
4 |
1,42 |
1,44 |
1,46 |
1,48 |
5 |
1,60 |
1,64 |
1,67 |
1,72 |
6 |
1,73 |
1,77 |
1,82 |
1,89 |
7 |
1,83 |
1,88 |
1,94 |
2,02 |
8 |
1,91 |
1,96 |
2,03 |
2,13 |
9 |
1,98 |
2,04 |
2,11 |
2,21 |
10 |
2,03 |
2,10 |
1,18 |
2,29 |
11 |
2,09 |
2,14 |
2,23 |
2,36 |
12 |
2,13 |
2,20 |
2,29 |
2,41 |
13 |
2,17 |
2,24 |
2,33 |
2,47 |
14 |
2,21 |
2,28 |
2,37 |
2,50 |
15 |
2,25 |
2,32 |
2,41 |
2,55 |
В
основе микростатистических оценок
нормально распределенных случайных
величин лежит распределение Стьюдента.
Оно связывает между собой три основные
характеристики выборочной совокупности:
ширину доверительного интервала,
соответствующую ему доверительную
вероятность и объем выборки или число
степеней свободы выборки f
. Числом степеней свободы называют
разность между объемом выборки и числом
величин, зависящих от элементов выборки
и входящих в формулу (4.4).
В рассматриваемом случае по выборке
объема N
вычислена одна величина – среднее
арифметическое. Таким образом,
.
Доверительные границы погрешности
результата измерения (верхнюю и нижнюю
границы интервала, накрывающего с
заданной вероятностью погрешность
измерения) устанавливают в соответствии
с ГОСТ8.207–76 для результатов наблюдений,
принадлежащих нормальному распределению.
Доверительные
границы
(без учета знака) случайной погрешности
результата измерения находят по формуле
,
где
– коэффициент Стьюдента, который в
зависимости от принятой доверительной
вероятности Р
и числа степеней свободы f
находят
по табл.3.2.
Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность Р принимают равной 0,95. В тех случаях, когда измерение нельзя повторить, допускается указывать доверительную вероятность 0,99, а в особых случаях, например, при измерениях, результаты которых имеют значения для здоровья людей, ее принимают равной 0,999.
Таблица3.2
Число степеней свободы |
Значения коэффициентов Стьюдента при доверительной вероятности P |
|||
0,900 |
0,95 |
0,990 |
0,999 |
|
1 |
6,31 |
12,70 |
63,60 |
636,00 |
2 |
2,92 |
4,30 |
9,93 |
31,60 |
3 |
2,35 |
3,18 |
5,84 |
12,90 |
4 |
2,13 |
2,78 |
4,60 |
8,61 |
5 |
2,02 |
2,57 |
4,03 |
6,86 |
6 |
1,94 |
2,45 |
3,71 |
5,96 |
7 |
1,90 |
2,37 |
3,50 |
5,41 |
8 |
1,86 |
2,31 |
3,36 |
5,04 |
9 |
1,83 |
2,26 |
3,25 |
4,78 |
10 |
1,81 |
2,23 |
3,17 |
4,59 |
11 |
1,80 |
2,20 |
3,11 |
4,44 |
12 |
1,78 |
2,18 |
3,06 |
4,32 |
13 |
1,77 |
1,16 |
3,01 |
4,22 |
14 |
1,76 |
1,15 |
2,98 |
4,14 |
15 |
1,75 |
1,13 |
2,95 |
4,07 |
20 |
1,73 |
1,09 |
2,85 |
3,85 |
30 |
1,70 |
2,04 |
2,75 |
3,65 |
40 |
1,68 |
2,02 |
2,70 |
3,55 |
60 |
1,67 |
2,00 |
2,66 |
3,46 |
120 |
1,66 |
1,98 |
2,62 |
3,37 |
∞ |
1,66 |
1,96 |
2,58 |
3,29 |