2.4. Введение в теорию оптимального планирования эксперимента

Приступая к эксперименту, исследователи всегда намечают определенную программу действий, иначе говоря, планируют эксперимент. Цель всякого исследования заключается в получении определенного объема новой информации об изучаемом процессе. В ходе экспериментов используется дорогостоящее оборудование, затрачивается труд ученых. Чтобы эксперимент шел оптимально, требуется свести к минимуму все затраты на его осуществление.

2.4.1. Поверхность отклика

Независимые переменные величины, характеризующие процесс, принято называть факторами. Так, факторами при экспериментальных исследованиях могут быть время, положение ведущего звена механизма и т.п. Эти величины при планировании эксперимента обычно обозначают малыми буквами х₁,…х_n.

Параметры исследуемого процесса количественно характеризуется одной или несколькими величинами. Такие величины в теории планирования эксперимента называю функциями отклика и обозначают буквами у₁,….у_n. Функции отклика зависят от влияющих факторов.

Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называют поверхностью отклики (рис. 3.1), а координатное пространство, по осям которого отложены факторы – факторным пространством.

Рис.2.1. Поверхность отклика

Для удобства рассмотрения поверхность отклика может быть изображена на плоскости в координатах х₁ и х₂ линиями, соответствующими постоянным значениям функции отклика. Это делается аналогично изображению рельефа местности на географических картах.

На рис. 2.2 изображены некоторые типы поверхности отклика. Здесь в качестве примера функции отклика взята степень чистоты продукта химической реакции, выраженная в процентах. На рис. 2.2,а поверхность отклика имеет вид «вершины» и соответствует области значений факторов, где расположен максимум величины у. Очевидно, аналогичный вид имеют линии постоянного уровня и в случае минимума функции у.

Поверхность, изображенная на рис. 2.2,б, характеризует плавное возрастание функции отклика с уменьшением значений фактора х₁ и увеличением x₂. Такую поверхность принято называть «стационарным возвышением».

Рис. 2.2. Типы поверхностей отклика

Поверхность, показанная на рис. 2.2,в, называется «хребтом». Его вершина соответствует наибольшим значениям функции отклика. Аналогично располагаются линии постоянных значений у и в случае «оврага», дно которого соответствует минимальным значениям функции отклика.

Наконец, на рис. 2.2,г изображена поверхность, называемая «седлом». На двух участках этой поверхности наблюдается возрастание функции отклика, а на двух других – убывание.

Следует отметить, что на практике встречаются поверхности отклика и более сложной формы.

2.4.2. Воспроизводимость опытов

Прежде чем приступить к планированию эксперимента, необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы, т.е. результаты опытов, проведенных в одинаковых условиях, близки друг к другу. Для этой цели проводят несколько серий параллельных опытов. Условия реализации опытов каждой серии – одинаковы, а разных серий – отличаются друг от друга. Однако все опыты проводятся в рассматриваемой области изменения влияющих факторов. Результаты этих опытов сводят в таблицу (табл. 2.1). Количество опытов во всех сериях должно быть одинаковым.

Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее арифметическое значение функции отклика

,

где j – номер серии; k – число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях.

Затем вычисляют для каждой серии параллельных опытов величину, называемую оценкой дисперсии:

Таблица 2.1

Эксперимент для проверки воспроизводимости опытов

Номер серии опытов	Результаты параллельных опытов				Средние значения	Оценки дисперсии
			…
2			…
3			…
…	…	…	…	…	…	…
j			…
…	…	…	…	…	…	…
N			…

Среди всех оценок дисперсий находят наибольшую. Мы обозначим ее через . Затем находят отношение наибольшей из оценок дисперсий к сумме всех оценок дисперсий:

Величина называется расчетным значением критерия Кохрена. Критические, т.е. предельно допустимые значения критерия Кохрена G, приведены в табл. 2.2.

Для нахождения G необходимо знать общее число N оценок дисперсий и так называемое число степеней свободы f, связанных с каждой из них, причем f=k – 1.

Опыты считаются воспроизводимыми, когда выполняется условие G_p G.

Таблица 2.2

Критические значения критерия Кохрена

Число серий опытов (число оценок дисперсий)
	1	2	3	4
2	0,999	0,975	0,939	0,906
3	0,967	0,871	0,798	0,746
4	0,907	0,768	0,684	0,629
5	0,841	0,684	0,598	0,544

Если опыты невоспроизводимы, то можно попытаться достигнуть воспроизводимости путем выявления и устранения источников нестабильности эксперимента, а также за счет использования более точных измерительных приборов.

Наконец, если никакими способами невозможно обеспечить воспроизводимость, то математические методы планирования к такому эксперименту применять нельзя.

Если при проведении эксперимента опыты дублируют и пользуются средними значениями функции отклика , то при обработке экспериментальных данных следует использовать . В тех случаях, когда из-за недостатка времени, большой трудоемкости или высокой стоимости эксперимента опыты не дублируют, при обработке экспериментальных данных используют .

Таким образом, вычисления, связанные с проверкой воспроизводимости опытов, достаточно просты. Для их проведения достаточно использовать микрокалькулятор.