3.2.2. Корреляция

Чтобы установить связь между двумя величинами, исследователь наносит их значения на график. Каждой паре значений величин х и у на графике соответствует точка. Обычно такие точки не ложатся на одну линию, а занимают на плоскости чертежа некоторую область, образуя так называемую диаграмму рассеивания (рис. 4.3). Причины рассеивания могут быть самыми различными. Среди них можно назвать погрешности измерений, влияние неучтенных факторов и т.д. Даже если один и тот же опыт в проводится несколько раз, результаты измерений обычно отличаются друг от друга.

Рис. 3.3. Диаграммы рассеивания

Известно, что связь между двумя величинами, характеризующими какой либо процесс, можно выразить уравнением регрессии. Однако оно не позволяет с абсолютной точностью предсказать значение у, если известно значение х. Прогнозирование у осуществляется только с некоторой вероятностью. Такая связь между двумя величинами называется корреляционной. Она существенно отличается от связи детерминистической, описываемой строгими аналитическими формулами.

Благодаря рассеянию, точки на графике располагаются в некоторой конечной области, обычно имеющей форму эллипса. Чем теснее связь между рассматриваемыми величинами, тем более вытянут эллипс вдоль одной из своих осей (рис. 3.3, а и б). Наоборот, если связь между х и у отсутствует, то разброс точек на диаграмме рассеивания по форме приближается к кругу (рис. 3.3, в).

Корреляционную связь между величинами называют положительной, если при увеличении одной из них возрастает другая величина. Отрицательной называют такую корреляционную связь, когда при увеличении значений одной из величин другая уменьшается.

С помощью графика мы можем дать качественную оценку корреляционной связи между величинами. Для количественной оценки линейной корреляции используется коэффициент парной корреляции r_xy, который рассчитывается по формуле

где s₁=n;

Этот коэффициент может принимать следующие значения:

1) , это свидетельствует об отсутствии корреляционной связи между х и у;

2) , в данном случае существует строгая положительная детерминистическая связь;

3) , между х и у существует строгая отрицательная детерминистическая связь;

4) , это наиболее распространенный случай: корреляционная связь может быть как положительной, так и отрицательной и характеризоваться различной степенью тесноты связи.

Чем ближе абсолютное значение коэффициента корреляции к единице, тем сильнее линейная связь между х и у. Следует отметить, что одновременно отражает степень случайности и криволинейности связи между величинами х и у. Например, зависимость у от х может быть близкой к функциональной, но существенно нелинейной. В этом случае коэффициент корреляции будет значительно меньше единицы.

Таким образом, тесноту связи между двумя величинами можно объективно оценить только после рассмотрения графика «корреляционного поля» и вычисления коэффициента парной корреляции.

Считается, что при r_xy  0,5 корреляционная зависимость достаточно велика и можно говорить о закономерной связи явлений.

Для оценки надежности полученных значений r_xy вычисляют ошибку m_r коэффициента корреляции

где n – количество опытов.

Значение r_xy вполне надежно, если r_xy  3m_r.

Вопросы для самопроверки

1. Что означает истинное и действительное значения физической величины?

2. Сформулируйте понятие «значение физической величины».

3. Что такое погрешность измерения?

4. На какие виды делятся погрешности измерений?

5. Какие операции необходимо выполнить с целью получения оценки истинного значения измеряемой величины и доверительных границ погрешности результата измерения?

6. По какой формуле вычисляют выборочную дисперсию?

7. В какой последовательности обобщаются экспериментальные исследования?

8. Что означает термин регрессия?

9. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?

10. Как определяется число степеней свободы дисперсии воспроизводимости?

11. Какая связь между двумя величинами называется корреляционной?

12. По какой формуле рассчитывается коэффициент парной корреляции r_xy?

13. Каково должно быть значение r_xy, чтобы можно было говорить о закономерной связи явлений?

14. По какой формуле вычисляют ошибку m_r коэффициента корреляции для оценки надежности полученных значений r_xy?