3.1.10. Сравнение результатов измерения

Типичной задачей экспериментальных исследований является изучение влияния различных факторов на те или иные показатели процесса. Для решения этой задачи приходится сравнивать между собой результаты измерений этих показателей при различных значениях изучаемого фактора. Однако непосредственное сравнение этих результатов возможно только в том случае, когда случайной погрешностью результата измерения можно пренебречь.

При сравнении между собой результатов измерений, содержащих случайные погрешности, необходимо установить, можно ли считать различие между этими результатами достаточным, чтобы иметь уверенность в его случайном происхождении. С этой целью необходимо:

1. проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий в сравниваемых сериях наблюдений по критерию Фишера или Кохрена:

2) сравнить между собой средние значения результатов наблюдений по критерию Стьюдента.

Критерий, который позволяет на заданном уровне значимости определить, является ли различие двух дисперсий случайным или значимым, носит название F –критерия и основан на распределении Фишера.

Согласно этому критерию, выборочные дисперсии и ( > ), найденные по выборам объемов N₁ и N₂ соответственно, считаются однородными, т.е. являются оценками одной и той же генеральной дисперсии, если

где F(P,f_1, f₂ )– критическое значение распределения Фишера (табл. 3.3), зависящее от доверительной вероятности Р и чисел степеней свободы и , причем f₁ соответствует большей дисперсии.

Таблица 3.3.

f2	Значение критерия Фишера при доверительной вероятности P=0,95 и числе степеней свободы f1
	1	2	3	4	5	6	7
1	164,4	199,5	215,7	224,6	230,2	234,0	237,1
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70

В тех случаях, когда выборочные дисперсии определяются из выборок равных объемов N₁=N₂=N_k=N однородность дисперсий и пригодность результатов анализа для совместной обработки удобно проверять с помощью критерия Кохнера. Для этого вычисляют все выборочные дисперсии из дисперсий к общей сумме всех выборочных дисперсий:

.

Дисперсии считаются однородными, если рассчитанное значение критерия Кохнера G_Р меньше табличного G_Т. Распределение случайной величины G_Т зависит только от числа суммируемых дисперсий К и числа степеней свободы f, с которым определена каждая дисперсия: f=N–1 . В табл. 3.4 приведены критические точки распределения Кохнера для доверительной вероятности Р=0,95 (К – число сравниваемых дисперсий).

Таблица 3.4.

Число дисперсий К	Значение GТ при числе степеней свободы f
	1	2	3	4	5	6
2	0,999	0,975	0,939	0,906	0,877	0,853
3	0,967	0,871	0,798	0,746	0,707	0,677
4	0,907	0,768	0,684	0,629	0,590	0,560
5	0,841	0,684	0,598	0,544	0,506	0,478
6	0,781	0,616	0,532	0,408	0,445	0,418
7	0/727	0,561	0,480	0,431	0,397	0,373
8	0,680	0,516	0,438	0,391	0,360	0,336
9	0,639	0,478	0,403	0,358	0,329	0,307
10	0,602	0,445	0,373	0,331	0,303	0,282

После определения однородностей дисперсий переходят к сравнению результатов измерений по критерию Стьюдента. Пусть первая из сравниваемых серий содержит N₁ независимых наблюдений, по результатам которых найдены среднее арифметическое и выборочная дисперсия . Во второй серии с числом наблюдений N₁ получены среднее арифметическое и дисперсия .

Различие между средними и можно считать неслучайным с надежностью вывода Р , если

где t_1–2 – коэффициент Стьюдента, определяемый из табл. 3.2

для f_1–2=N₁ +N₂–2 и выбранной надежности вывода Р;

S_1–2 – усредненное среднеквадратическое отклонение, вычисляемое по формуле

.