2.4.3. Планирование эксперимента при поиске оптимального решения

2.4.3.1. Крутое восхождение

Полученное с помощью полного или дробного факторного эксперимента уравнение регрессии служит не только математической моделью процесса, но используется и для его оптимизации. Оптимизацией процесса называют целенаправленный поиск наилучших в определенном смысле условий его проведения. Задачи оптимизации приходится решать при разработке новых машин и реконструкции действующих.

Величина, характеризующая уровень оптимизации процесса, называется критерием оптимальности или целевой функцией. Например, критерием оптимальности может быть выход целевого продукта химической реакции в расчете на израсходованное сырье.

Качество процесса обычно выражается не одним, а несколькими показателями. Безусловно, хочется, чтобы все показатели достигали одновременно своих наилучших значений. К сожалению, это невозможно. Например, максимальная производительность оборудования и минимальная себестоимость продукции обычно имеют место при различных технологических режимах.

Чтобы осуществлять оптимизацию, необходимо располагать определенными ресурсами. Например, для увеличения выхода целевого продукта химической реакции, мы должны иметь возможность варьировать в определенных пределах значениями таких величин, как температура реакционной смеси, исходные концентрации реагентов и т.д.

Оптимизацию проводят, как правило, в условиях ограничений на ресурсы оптимизации и некоторые выходные параметры процесса.

Задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом. Задан критерий оптимальности

и ограничения на остальные выходные параметры процесса:

Заданы ограничения на ресурсы оптимизации

Требуется найти такие значения ресурсов оптимизации , при которых критерий оптимальности достигает своего экстремального (т.е. наибольшего или наименьшего) значения.

Д. Бокс и К. Уилсон предложили использовать для оптимизации результаты полного или дробного факторного эксперимента. Сущность этого метода состоит в следующем.

Среди всех имеющихся функций отклика, описывающих объект оптимизации, выбирают одну наиболее важную и принимают ее в качестве критерия оптимальности у₁. Затем указывают ограничения, накладываемые на остальные функции отклика и на влияющие факторы.

Один из наиболее сильно влияющих факторов принимают за базовый и для него вычисляют произведение соответствующего коэффициента регрессии на шаг варьирования. Например, для первого фактора это произведение имеет вид b₁x₁. Затем для базового фактора выбирают шаг , с которым будет осуществляться оптимизация. С целью более точного нахождения координат оптимума обычно принимают .

После этого вычисляют отношение

.

Для всех остальных факторов шаги движения к оптимуму рассчитывают по формуле

.

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который был использован для получения уравнения регрессии. Значения факторов на каждом новом шаге оптимизации находят путем прибавления к соответствующим предыдущим значениям. Так осуществляется оптимизация по методу Бокса и Уилсона, получившему название метода крутого восхождения.

Отметим некоторые особенности этого метода.

Движение из центра плана начинается в сторону наиболее быстрого увеличения критерия оптимальности. Это происходит благодаря тому, что шаги пропорциональны коэффициентам регрессии b_i .

Если ищется минимум критерия y₁, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитания . Такой способ оптимизации назван методом наискорейшего спуска.

Движение к экстремуму прекращают при выполнении следующих условий: 1) значения факторов (одного или нескольких) или функций отклика (одной или нескольких) вышли на допустимые границы; 2) достигнут экстремум критерия оптимальности.

Рис. 2.5. Оптимизация по методу крутого восхождения

Как следует из рис. 2.5, в ходе крутого восхождения по поверхности отклика сначала может быть достигнут локальный экстремум у₁ на направлении движения. В таком случае необходимо в окрестности этого экстремума поставить новый полный факторный эксперимент и реализовать новое крутое восхождение.

Отметим, что в реальных условиях оптимум обычно находится на границах области допустимых значений .