2.4.3.2. Симплекс–метод

Свое название метод получил от слова симплекс. Симплексом называется правильный многогранник, имеющий п+1 вершину, где п – число факторов, являющихся ресурсами оптимизации. Так, если факторов два, то симплексом является правильный треугольник. Сущность симплексного метода оптимизации иллюстрирует рис. 2.6.

Начальная серия опытов соответствует вершинам исходного симплекса (точки 1, 2 и 3). Сравнивая между собой результаты опытов в точках 1, 2 и 3, находят среди них самый «плохой», с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Пусть, например, самым «неудачным» оказался опыт в точке 1. Этот опыт исключают из симплекса, а вместо него вводят опыт в точке 4, которая симметрична точке 1 относительно противоположной стороны треугольника, соединяющей точки 2 и 3.

Далее сравнивают между собой результаты опытов в вершинах нового симплекса, отбрасывают самый «плохой» из них и переносят соответствующую вершину симплекса в точку 5. Затем рассмотренная процедура повторяется в течение всего процесса оптимизации.

Рис. 2.6. Оптимизация по симплексному методу

Если достигнут экстремум критерия оптимальности, то дальнейшее движение симплекса прекращается. Это значит, что новый шаг возвращает исследователя в предыдущую точку факторного пространства.

Важно иметь в виду, что симплексный метод является локальным методом поиска экстремума. Это значит, что если в рассматриваемой области факторного пространства существует несколько экстремумов критерия оптимальности, то данный метод позволяет найти только тот из них, который расположен ближе к точкам исходного симплекса. Поэтому, если есть подозрение на существование нескольких экстремумов критерия оптимальности, нужно осуществить их поиск, каждый раз начиная оптимизацию из новой области факторного пространства. Затем следует сравнить между собой найденные оптимальные условия и из всех вариантов выбрать наилучший.

При оптимизации необходимо принимать во внимание ограничения, наложенные на влияющие факторы и некоторые функции отклика.

Следует отметить, что при использовании симплексного метода не обязательно дублировать опыты. Дело в том, что ошибка в отдельном опыте может только несколько замедлить оптимизацию. Если же последующие опыты выполняются безупречно, то движение к оптимуму продолжается.

В табл. 2.3 приведена матрица опытов исходного симплекса в кодированных переменных. Символом "0" обозначены координаты центра симплекса.

Таблица 2.3

Матрица исходного симплекса

Номер опыта	Х1	Х2		Хn–1	Хn	Функция отклика
1	K1	K2	…	Kn–1	Kn	y1
2	–R1	K2	…	Kn–1	Kn	y2
3	0	–R2	…	Kn–1	Kn	y3
…	…	…	…	…	…	…
n–1	0	0	…	Kn–1	Kn	yn–1
n	0	0	…	–Rn–1	Kn	yn
n+1	0	0	…	0	–Rn	yn+1

Величины, входящие в эту таблицу, рассчитываются по формулам

где i – номер фактора в матрице планирования.

Результаты опытов, представленные в табл. 2.3, соответствуют вершинам симплекса, сторона которого равна единице, а центр совпадает с началом координат (в кодированных переменных).

Матрица планирования исходного симплекса для четырех факторов приведена в табл. 2.4.

Аналогично можно рассчитать условия исходной серии опытов для большего числа факторов.

Очевидно, наибольшее количество опытов приходится ставить в начале эксперимента Затем на каждом шаге оптимизации выполняется только один опыт.

Таблица 2.4

Условия проведения начальной серии опытов

Номер опыта	Х1	Х2	Х3	Х4
1 2 3 4 5	0,5 –0,5 0 0 0	0,289 0,289 –0,578 0 0	0,204 0,204 0,204 –0,612 0	0,158 0,158 0,158 0,158 –0,632

Приступая к оптимизации, необходимо рассчитать матрицу исходной серии опытов в физических переменных, пользуясь формулой

где х_i0 – координата центра плана в физических переменных; x_i – интервал варьирования фактора х_i, определяющий размер симплекса; Х_i – значение кодированной переменной.

Условия каждого нового опыта рассчитываются по формуле

Здесь п – число факторов в матрице планирования; j – номер опыта; i – номер фактора; – значение i–го фактора в самом «плохом» опыте симплекса.

На любом шаге оптимизации, осуществляемой симплексным методом, можно при желании включить в программу исследований новый фактор, который был зафиксирован на некотором постоянном уровне. При этом значения всех ранее рассматриваемых факторов рассчитываются по формуле

,

где i=1, 2,…,п, т.е. являются средними арифметическими значениями соответствующих координат предыдущего симплекса.

Значение вновь вводимого фактора определяется по формуле

где – основной уровень значений вводимого фактора; – интервал варьирования, определяющий размер симплекса по вводимому фактору; , – кодированные значения, для которых были указаны расчетные формулы.

Отметим, что добавление нового фактора в состав полного факторного эксперимента требует увеличения числа опытов вдвое. В этом смысле симплексный метод имеет очевидное преимущество.

Вопросы для самопроверки

1. Каковы задачи исследований?

2. Назовите основные типы теоретических задач.

3. Что включает в себя разработка плана- программы эксперимента?

4. По каким признакам классифицируются инженерные эксперименты?

5. Какова цель эксперимента?

6. Назовите классификационные признаки экспериментальных исследований.

7. Какие основные направления включает теория эксперимента?

8. Назовите этапы планирования эксперимента.

9. Как принято называть независимые переменные величины, характеризующие процесс, при планировании эксперимента?

10. Для какой цели применяется критерий Кохрена G?

11. Что называют оптимизацией математической модели процесса?

12. Какая величина характеризует уровень оптимизации процесса?

13. В чем сущность метода «крутого восхождения»?

14. Поясните сущность симплексного метода оптимизации.