3.2 Аннуитет и его стоимость
Аннуитетом называется серия равновеликих платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определенного количества лет. Величина отдельного платежа называется элементом аннуитета (R).
Примером аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам и т. д.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, называется аннуитетом пренумерандо.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в конце соответствующих интервалов, называется аннуитетом постнумерандо.
Рассмотрим процессы определения наращенной и настоящей стоимости аннуитета постнумерандо. Наращенная стоимость аннуитета – это сумма всех его элементов с начисленными на них процентами.
Принцип временного аспекта ценности денег делает не корректным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются правила компаундирования (наращения) и дисконтирования с методикой начисления только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока платежей имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.
Допустим, имеется поток платежей постнумерандо (рис. 3.1).
Как
видно из рис. 3.1, платеж, совершенный
в конце первого года, к концу
периода аннуитета возрастет в
раз и превратится в сумму
и т. д.
Рисунок 3.1 – Наращенная стоимость аннуитета постнумерандо
Наращенная стоимость аннуитета может быть определена прямым счетом по формуле:
. (3.5)
Поскольку по определению аннуитета R1 = R2 = … = Rn , то, обозначив величину отдельного платежа (элемента) через R, получим:
. (3.6)
Однако использование данной формулы в практических расчетах при значительном периоде аннуитета весьма трудоемко. Поэтому данную формулу необходимо упростить и в результате получим:
, (3.7)
где FVA – наращенная стоимость всего аннуитета (сумма всех платежей с процентами), ден. ед.;
R – величина каждого отдельного платежа, ден. ед.;
i – процентная ставка, %;
n – число платежей;
Данная формула значительно упрощает наращенной стоимости аннуитета. Коэффициент наращения аннуитета имеет вид:
. (3.8)
Данный коэффициент может быть найден по таблице, представленной в приложении В.
Современная стоимость аннуитета – это сумма современных стоимостей элементов аннуитета. Современная стоимость элемента аннуитета определяется дисконтированием его величины на начало периода аннуитета.
Допустим, имеется поток платежей постнумерандо (рис. 3.2):
Рисунок 3.2 – Современная стоимость аннуитета постнумерандо
Путем преобразований получим формулу для расчета современной стоимости аннуитета:
. (3.9)
Коэффициент дисконтирования аннуитета будет иметь вид:
. (3.10)
Коэффициент дисконтирования аннуитета также может быть найден по таблице, представленной в приложении Г.
3.4 Тесты по теме
Аннуитетом называется:
а) равные платежи (поступления), которые осуществляются в случае использования кредитных ресурсов;
б) равные поступления инвестиционных ресурсов, необходимых для реализации проекта;
в) стоимость равных поступлений, которые осуществляются пользователями инвестиционных ресурсов, с учетом темпов инфляции;
г) равные платежи (поступлення), которые осуществляются через одинаковые промежутки времени на протяжении определенного периода.
Равномерность будущих денежных потоков при реализации инвестиционного проекта дает возможность:
а) не учитывать изменение стоимости денег во времени;
б) использовать метод простых процентов;
в) использовать метод аннуитета;
г) не учитывать инфляцию.
Предприятие для успешной реализации инвестиционного проекта размещает часть свободных денежных средств в банк под 21 % годовых (по схеме начисления простых процентов), сроком на 4 года. Рассчитать сумму, необходимую для размещения на депозите, если по условию кредитного договора предприятие ожидает получить 964 250 грн.
а) 1 774 220 грн.; в) 449 830 грн.;
б) 524 049 грн.; г) свой вариант.
Предприятие получило кредит от банка-инвестора для реализации инвестиционного проекта под 18 % годовых (по схеме начисления простых процентов) сроком на 6 лет. Рассчитать сумму, взятую предприятием-заемщиком, если банк-инвестор по истечении кредитного договора получит 1 342 780 грн.
а) 497 408 грн.; в) 645 567 грн.;
б) 2 792 982 грн.; г) свой вариант.
Для реализации инвестиционного проекта руководство фирмы «Новострой» приняло решение положить свободные средства в размере 561230 грн. в банк на депозит по простой ставке 19 % годовых. Определить: какую сумму получит фирма «Новострой» по истечении кредитного договора сроком 4 года.
а) 987 765 грн.; в) 1 125 457 грн.;
б) 426 535 грн.; г) свой вариант.
Руководством предприятия для реализации инвестиционного проекта был взят кредит в размере 980 500 грн. под простую процентную ставку 15 % годовых, за пользование данным кредитом была отдана сумма в размере 735 375 грн. Определите: на сколько лет был предоставлен кредит.
а) 3 года; г) 6 лет;
б) 5 лет; д) свой вариант ответа.
в) 2 года;
Руководством предприятия для реализации инвестиционного проекта был взят кредит в размере 750 000 грн. под простую процентную ставку 11 % годовых, за пользование данным кредитом предприятие выплатило банку 245 000 грн. Определите: на сколько лет был предоставлен кредит.
а) 3 года; г) 6 лет;
б) 5 лет; д) свой вариант ответа.
в) 2 года;
Банк-инвестор предоставил кредит предприятию в размере 478 600 грн., за пользование данным кредитом предприятию необходимо выплатить 198 500 грн. Необходимо определить на какой период был предоставлен кредит, если в расчетах используется простая ставка 19 % годовых:
а) 5,5 года; в) 3,7 года;
б) 2,2 года; г) свой вариант.
Определите величину простой процентной ставки, при условии, что первоначально предоставленный инвестиционный кредит за семь лет увеличился в 3,4 раза:
а) 34 %; г) 19 %;
б) 73 %; д) свой вариант ответа.
в) 25 %;
Определите величину простой процентной ставки, при условии, что первоначально предоставленный инвестиционный кредит за пять лет увеличился в 2,4 раза:
а) 34 %; г) 19 %;
б) 73 %; д) свой вариант ответа.
в) 28 %;
Определите величину простой процентной ставки, при условии, что первоначально предоставленный инвестиционный кредит за шесть лет увеличился в 4,6 раза:
а) 29 %; г) 60 %;
б) 77 %; д) свой вариант ответа.
в) 28 %;
Предприятию был предоставлен кредит в размере 620 740 грн. сроком на 4 года, за данный период банком были начислены простые проценты в размере 348 200 грн. Определите: под какую годовую процентную ставку был предоставлен предприятию кредит.
а) 20 %; г) 43 %;
б) 32 %; д) свой вариант ответа.
в) 14 %;
По истечении трехлетнего кредитного договора предприятию необходимо вернуть сумму равную 921 350 грн., известно, что за пользование капиталом предприятие выплатит банку 375 100 грн. Определите: под какую простую годовую процентную ставку был предоставлен предприятию кредит.
а) 48 %; г) 23 %;
б) 78 %; д) свой вариант ответа.
в) 14 %;
Определить, какую сумму необходимо вложить в проект реконструкции завода инвестору при использовании сложной ставки 24 % годовых, если он желает получить через 3 года 894 675 грн.
а) 345 670 грн.; в) 469 246 грн.;
б) 1705 809 грн.; г) свой вариант.
Инвестор желает получить 545 300 грн. через 4 года. Какую сумму он должен вложить в проект сейчас, если сложная процентная ставка по проекту составляет 18 % годовых?
а) 317 035 грн.; в) 281 260 грн.;
б) 185 800 грн.; г) свой вариант.
Через 4 года величина денежного вклада возросла до 76 545 грн. За данный период начислены сложные проценты в сумме 9 870 грн. Определите: под какую процентную ставку был предоставлен кредит.
а) 18 %; г) 25 %;
б) 15 %; д) свой вариант ответа.
в) 13 %;
Через 4 года величина денежного вклада возросла до 825 680 грн. За данный период начислены сложные проценты в сумме 281 800 грн. Определите сложную процентную ставку.
а) 17 %; г) 11 %;
б) 15 %; д) свой вариант ответа.
в) 13 %;
Через 3 года величина денежного вклада возросла до 276545 грн. За данный период начислены сложные проценты в сумме 93870 грн. Сложная процентная ставка составит:
а) 17 %; г) 25 %;
б) 15 %; д) свой вариант ответа.
в) 13 %;
Через 2 года величина денежного вклада возросла до 5 325 грн. За данный период начислены сложные проценты в сумме 2 740 грн. Сложная процентная ставка составит:
а) 18 %; г) 44 %;
б) 53 %; д) свой вариант ответа.
в) 75 %;
Проект позволил за пять лет его реализации увеличить вложенные в него инвестиции в объеме 435 700 грн. до суммы равной 1 325 800 грн. Определите сложную процентную ставку на инвестиции по проекту:
а) 25 %; г) 41 %;
б) 32 %; д) свой вариант ответа.
в) 20 %;
Банк дал кредит в размере 1 536 700 грн. для реализации проекта, по истечении пятилетнего срока руководству предприятия необходимо вернуть сумму равную 2 700 000 грн. Под какую сложную процентную ставку был дан кредит для реализации проекта?
а) 18 %; г) 25 %;
б) 12 %; д) свой вариант ответа.
в) 15 %;
Банк-инвестор предоставил кредит в размере 560 900 грн. для реализации проекта в течение 3 лет, по истечении данного срока руководству предприятия необходимо вернуть сумму равную 950 300 грн. Под какую сложную процентную ставку был дан кредит для реализации проекта:
а) 25 %; в) 19 %;
б) 73 %; г) свой вариант ответа.
Банк дал кредит в размере 764 200 грн. для реализации проекта в течение 4 лет, за пользование данным кредитом руководству предприятия необходимо выплатить сумму равную 412 700 грн. Под какую сложную процентную ставку был дан кредит для реализации проекта?
а) 22 %; в)11 %;
б) 17 %; г) свой вариант ответа.
Какова должна быть сложная процентная ставка, чтобы первоначальный капитал, вкладываемый в инвестиционный проект, вырос в 2,5 раза за пять лет?
а) 30 %; г) 20 %;
б) 73 %; д) свой вариант ответа.
в) 25 %;
Инвестиционный проект длится семь лет и необходимо отметить, что его реализация позволит инвестору увеличить свой капитал в 3,4 раза. Определите величину сложной процентной ставки.
а) 34 %; г) 19 %;
б) 73 %; д) свой вариант ответа.
в) 25 %;
Инвестиционный проект за четыре года своей реализации позволит инвестору увеличить первоначально вкладываемые инвестиционные средства в 2,7 раза. Определите величину сложной процентной ставки?
а) 22 %; г) 28 %;
б) 43 %; д) свой вариант ответа.
в) 50 %;
В соответствии с кредитным соглашением общая сумма долга (с процентами) погашается ежегодно в течение четырех лет равными платежами в размере 340 500 грн. Кредит был предоставлен под 15 % годовых. Определите первоначальную сумму долга.
а) 1 700 253 грн.; в) 595 537 грн.;
б) 654 800 грн.; д) свой вариант.
Инвестор предоставил кредит для реализации инвестиционного проекта предприятию сроком на 5 лет. Определить размер ежегодных платежей предприятия при сложной ставке 13 % годовых (платежи в конце года) для получения инвестором суммы в размере 1 457 300 грн.
а) 414 335 грн.; в) 790 964 грн.;
б) 300 487 грн.; г) свой вариант.
Предприятие будет помещать на депозит в банке ежегодно в течение 7 лет свободные средства в размере 51 320 грн. под 11 % годовых. Определите размер накопленного предприятием фонда к концу кредитного договора.
а) 241 830 грн.; в) 106 549 грн.;
б) 502 079 грн.; д) свой вариант ответа.
В соответствии с кредитным соглашением общая сумма долга с процентами в размере 980 745 грн. будет погашаться равными выплатами в течение пяти лет, процентная ставка 15 % годовых. Определите сумму, выплачиваемую каждый год для погашения долга.
а) 145 468 грн.; г) 568 237 грн.;
в) 292 568 грн.; д) свой вариант.
Определите размер ежегодных платежей на банковский депозит, чтобы за шесть лет предприятие смогло создать накопительный фонд в размере 1 340 200 грн. Необходимо отметить, что кредит был предоставлен под 21 % годовых.
а) 131 612 грн.; г) 413 056 грн.;
в) 427 029 грн.; д) свой вариант.
Для реализации проекта руководство предприятия принимает решение о привлечении кредита в размере 1 215 340 грн. под 16 % годовых. Какую сумму необходимо выплачивать предприятию ежегодно, чтобы за 6 лет погасить основную сумму долга и начисленные банковские проценты?
а) 498 827 грн.; г) 329 834 грн.;
в) 135 376 грн.; д) свой вариант.
Инвестор предоставил кредит для реализации проекта предприятию сроком на 7 лет. Определить размер ежегодных платежей предприятия при сложной ставке 24 % годовых для получения инвестором по окончанию кредитного договора суммы в размере 2 578 430 грн.
а) 131 612 грн.; г) 572 010 грн.;
в) 176 424 грн.; д) свой вариант.
В соответствии с кредитным соглашением, общая сумма долга с процентами в размере 670 890 грн. будет погашаться равными выплатами в течение пяти лет, процентная ставка 17 % годовых. Определите сумму, выплачиваемую каждый год для погашения долга.
а) 209 696 грн.; в) 293 800 грн.;
б) 95 645 грн.; д) свой вариант.
Для реализации инвестиционного проекта взят кредит в размере 57 000 грн. под 15 % годовых. Какую сумму нужно выплачивать ежегодно, чтобы за три года погасить кредит?
а) 24 965 грн.; г) 7 900 грн.;
б) 16 415 грн.; д) свой вариант.
в) 18 500 грн.;
Для реализации проекта руководство предприятия привлекает инвестиционный кредит в размере 710 620 грн. под 18 % годовых. Какую сумму необходимо выплачивать предприятию ежегодно, чтобы за 5 лет погасить тело кредита и начисленные банковские проценты?
а) 227 238 грн.; в) 256 432 грн.;
б) 310 619 грн.; д) свой вариант.