Понятие о логических парадоксах Парадокс – это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения или (иными словами) доказывающее как это суждение, так и его отрицание.

Парадоксы были известны еще в древности. Их примерами являются: «Куча», «Лысый», «Каталог всех нормальных каталогов», «Мэр города», «Генерал и брадобрей» и др. Рассмотрим некоторые из них.

Парадокс «Куча». Разница между кучей и не-кучей – не в одной песчинке. Пусть у нас есть куча (например, песка). Начинаем из нее брать каждый раз по одной песчинке, и куча остается кучей. Продолжаем этот процесс. Если 100 песчинок – куча, то 99 – тоже куча и т.д. 10 песчинок – куча, 9 – куча, ... 3 песчинки – куча, 2 песчинки – куча, 1 песчинка – куча. Итак, суть парадокса в том, что постепенные количественные изменения (убавление на 1 песчинку) не приводят к качественным изменениям.

Парадокс «Лысый» аналогичен парадоксу «Куча», т.е. разница между лысым и не-лысым не в одной волосинке.

Парадоксы теории множеств

В письме Готтлобу Фреге от 16 июня 1902 г. Бертран Рассел сообщил о том, что он обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента).

Примерами таких парадоксов (противоречий) являются «Каталог всех нормальных каталогов», «Мэр города», «Генерал и брадобрей» и др.

Парадокс «Мэр города», состоит в следующем: каждый мэр города живет или в своем городе, или вне его. Был издан приказ о выделении одного специального города, где жили бы только мэры, не живущие в своем городе. Где должен жить мэр этого специального города? а). Если он хочет жить в своем городе, то он не может этого сделать, так как там живут только мэры, не живущие в своем городе, б). Если же он не хочет жить в своем городе, то, как и все мэры, не живущие в своих городах, должен жить в отведенном городе, т.е. в своем. Итак, он не может жить ни в своем городе, ни вне его.

Парадокс «Каталог всех нормальных каталогов» получается так. Каталоги подразделяются на два рода:

1) такие, которые в числе перечисляемых каталогов не упоминают себя (нормальные), и 2) такие, которые сами входят в число перечисляемых каталогов (ненормальные).

Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога упомянуть и составленный им? Если он упомянет его, то составленный им каталог окажется не-нормальным, т.е. он не может упоминать его. Если же библиотекарь не упомянет свой каталог, то один из нормальных каталогов – тот, который он составил, – окажется неупомянутым, хотя должен был бы быть упомянутым, как все нормальные каталоги. Итак, библиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть составляемый им ката лог. Как же тут быть? Посмотрим на этом примере, как разрешаются подобные парадоксы.

Естественно заметить, что понятие «нормальный каталог» не имеет фиксированного объема, пока не установлено, какие каталоги следует рассматривать (в какой, например, библиотеке и в какое время находящиеся). Если будет дано задание составить каталог всех нормальных каталогов на 20 июня 1998г., то объем понятия «каталог всех нормальных каталогов» будет фиксирован и при составлении своего каталога библиотекарь не дол жен будет его упоминать. Но если аналогичное задание будет дано уже после того, как каталог составлен, то придется учесть и этот каталог. Так раз решается парадокс.

Таким образом, в логику входит категория времени, категория изменения: приходится рассматривать изменяющиеся объемы понятий. А рассмотрение объема в процессе его изменения – это уже аспект диалектической логики. В примере с каталогом удается избежать противоречия потому, что объем понятия «каталог всех нормальных каталогов» берется на какое-то определенное, точно фиксированное время, например, на 20 июня 1998 г. Имеются и другие способы избежать противоречий такого рода.