Дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка F (x, y, y' ) = 0. Выразим производную:
y' = f (x, y). (*)
Дифференциальное уравнение может быть записано через дифференциалы
M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0.
Определение. Условие равенства y = y 0 при x = x 0 называется начальным условием.
Определение. Общим решением уравнения (*) называется функция
y = (x, C), зависящая от произвольной постоянной C и удовлетворяющая условиям:
1. при любом значении С* функция y = (x, C*) является решением (*);
2. для любой точки Mo (xo, yo) D существует значение постоянной С=С0, что
y0 = (x0, C0) .
Общее решение, когда переменная y не выражается через переменную x, называется общим интегралом Ф (x, y, C) = 0.
Определение. Частным называется решение, которое получается из общего при конкретном значении постоянной C=C0. Аналогично получается частный интеграл Ф (x, y, C0) = 0.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.
Замечание. Не любое частное решение может быть получено из общего решения. Если есть такое решение уравнения, то его будем называть особым.
Типы уравнений первого порядка и способы их решений
I. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в следующих видах:
у ' = g (x) h(у) (1) или
M1(x) M2(у) dx + N1(x) N2(у) dy = 0. (1')
Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные, т.е. с одной стороны от знака равенства собрать выражение содержащее только x , с другой - только у:
у ' = g (x) h(у);
M1(x) M2(у) dx + N1(x) N2(у) dy = 0;
; M1(x)
M2(у)
dx =
-
N1(x)
N2(у)
dy
;
;
;
.
.
Решения записаны с помощью интегралов, полученных при интегрировании уравнения. Эти решения содержат произвольную константу интегрирования и являются общими. А особые решения можно получить, решая алгебраические уравнения h(у) = 0; N1(x) = 0; M2(у) = 0.
Пример 1. Решить уравнение 3 x In xу' = 5у - 4уIn x.
Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно, после преобразования получим
Интегрируем полученное уравнение:
Рассмотрим два случая:
1. y = 0. Легко убедиться, что данная функция является решением уравнения.
2.
;
;
;
;
.
Здесь постоянная интегрирования представлена для удобства в виде логарифма, а модули отброшены, т.к. постоянная C может принимать и положительные и отрицательные значения. Функция, полученная в случае 2, является общим решением и включает в себя также решение случая 1, получаемое при C = 0.
II. Однородные уравнения первого порядка
Определение. Функция z = f (x, y) называется однородной функцией порядка к, если f (х, y) = к f (x, y).
Определение. Уравнение y ' = f (х, y) называется однородным, если f(х,у) является однородной функцией порядка 0. Тогда, принимая = 1/ х, получаем
y'
= f(х,
y)
=
Таким образом, уравнение первого порядка является однородным, если его правая часть представима в виде функции, зависящей только от отношения переменных х и y
(2)
Однородное
уравнение решается с помощью замены
.
При этом
y =tх, y' =t'х +1. В новых переменных уравнение разрешает разделение переменных:
Пример
2. Найти
частное решение уравнения
;
y(1)
= 0.
Решение. Покажем, что это уравнение однородное. Выразим производную
Правая часть уравнения зависит только от отношения переменных у и x, следовательно, уравнение - однородное. Введя замену , получим
Вычислим интеграл слева:
Общий интеграл уравнения может быть записан в следующем виде:
Подставим
в полученное решение в начальное
Таким
образом, получим частный интеграл
уравнения
