Литература
Основные источники:
Элементы высшей математики, Григорьев В.П., Академия . 2014 г.
Дополнительные источники:
Пакет прикладных программ по курсу математики OC Windows, XP – сервисная программа.
MS Office, XP – сервисная программа
Интернет- ресурсы:
1. www.school.edu.ru/dok edu.
2. www.edu.ru/db/portal/sred/
3. Математика в Открытом колледже
http://www.mathematics.ru
4. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ
http://school.msu.ru
5. Образовательный математический сайт Exponenta.m
http ://www. exponenta.ru
6.Общероссийский математический портал Math-Net.Ru http://www.mathnet.ru
7. Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте
http ://www. alhnath.ru
Практическая работа по теме: «Методы вычисления определенного интеграла»
Цель: рассмотреть вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной.
Теоретические сведения.
Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное.
Данный метод позволяет свести исходный определенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.
Если функции u= u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула интегрирования по частям:
Самое сложное, что есть в этом методе – это правильно определить, какую часть подынтегрального выражения брать за u, а какую за dv
Рассмотрим стандартные случаи.
Для интегралов вида
,
или
,
где Pn(x)
- многочлен, a–
число. Удобно принять u=P(x),
а за dv
обозначить все остальные сомножители.Интегралы вида
,
,
,
,
.
Удобно принять P(x)
=
dv,
а за u
все
остальные сомножители.Интегралы вида
,
,
где a
и b
числа. За u
можно принять функцию u
= еах.
Пример
1.
Вычислить
Решение.
.
Пример
2.
Вычислить
Решение.
.
Интегрирование заменой переменной (подстановкой).
Пусть
для интеграла
от непрерывной функции сделана подстановка
x
= (t).
Если: 1) функция x = (t) и ее производная х/ = /(t) непрерывны при t[;];
2) множеством значений функции x = (t) при t[;] является отрезок [a;b]
3) () = a и () = b, то
Отметим, что: 1) При вычислении определённого интеграла методом замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки x = (t) применяют подстановку t = g(x);
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Алгоритм вычисления определенного интеграла методом подстановки:
Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Находят новые пределы интегрирования.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
Пример
1. Вычислить
Решение.
Замена: t
= x2
-16; dt
=
2x
dx; dx=
.
Найдём новые пределы интегрирования. При x = 4, = t(4) = 42 -16 =0; x = 5, = t(5) = 52 -16 =9.
Получаем:
.
Пример
2. Вычислить
Решение.
Замена: t
=
,
.
t
-1 =
,
2x
+ 1 = (t
– 1)2,
,
dx
= (t
-1)dt.
Найдём новые пределы интегрирования. При x = 0, = t(0) = 2; x = 4, =t(4)=4.
Получаем:
.
Задания для самостоятельного решения
Вариант 1
1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:
а)
;
б)
2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:
а)
;
б)
Вариант 2
1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:
а)
;
б)
2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:
а)
;
б)
Контрольные вопросы
1. Что такое определенный интеграл?
2.Какими свойствами обладает определенный интеграл?
3.Что такое формула Ньютона-Лейбница?
4.Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле?
5.Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле?
Литература.
Основные источники:
Элементы высшей математики, Григорьев В.П., Академия . 2014 г.
Дополнительные источники:
Пакет прикладных программ по курсу математики OC Windows, XP – сервисная программа.
MS Office, XP – сервисная программа
Интернет- ресурсы:
1. www.school.edu.ru/dok edu.
2. www.edu.ru/db/portal/sred/
3. Математика в Открытом колледже
http://www.mathematics.ru
4. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ
http://school.msu.ru
5. Образовательный математический сайт Exponenta.m
http ://www. exponenta.ru
6.Общероссийский математический портал Math-Net.Ru http://www.mathnet.ru
7. Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте
http ://www. alhnath.ru