Литература

Основные источники:

Элементы высшей математики, Григорьев В.П., Академия . 2014 г.

Дополнительные источники:

3. Пакет прикладных программ по курсу математики OC Windows, XP – сервисная программа.

4. MS Office, XP – сервисная программа

Интернет- ресурсы:

1. www.school.edu.ru/dok edu.

2. www.edu.ru/db/portal/sred/

3. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

4. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

http://school.msu.ru

5. Образовательный математический сайт Exponenta.m

http ://www. exponenta.ru

6.Общероссийский математический портал Math-Net.Ru http://www.mathnet.ru

7. Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте

http ://www. alhnath.ru

Практическое занятие по теме: «Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными»

Цель занятия: Научиться решать системы уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁,

a₂x + b₂y + c₂z = d₂,

a₃x + b₃y + c₃z = d₃. (1)

Систему 1 записывают короче:

a_ix + b_iy + c_iz = d_i, где i = 1,2,3

Здесь a_i, b_i, c_i, d_i - некоторые заданные числа, а х, у, z - искомые неизвестные. Как известно, тройка чисел (х₀; у₀; z₀) называется решением системы 1, если при подстановке их в уравнения системы вместо х, у, z получаются верные числовые равенства.

Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнения системы 1 равны нулю: a_i = b_i= c_i = 0, i = 1,2,3.

В этом случае, если все свободные члены уравнений системы равны нулю: d₁ = d₂ = d₃ = 0 , то, очевидно любая тройка чисел (х; у; z) является решением этой системы. Если же не все свободные члены уравнений равны нулю, то система не имеет решений.

Рассмотрим теперь случай, когда не все коэффициенты уравнений системы 1 равны нулю. Пусть, например, с₃ = 0, тогда данная система эквивалентна следующей:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁,

a₂x + b₂y + c₂z = d₂,

x + y + z = .

Последнее уравнение этой системы умножим на с₁ и вычтем почленно из первого уравнения, в результате получим уравнение:

(а₁ - с₁) х + (b₁ - с₁) у = d₁ - с₁ (2)

Аналогично, умножая последнее уравнение на с₂ и вычитая почленно из второго уравнения, получаем:

(а₂ - с₂) х + (b₂ - с₂) у = d₂ - с₂ (3)

Очевидно, что система

(а₁с₃- а₃с₁) х + (b₁c₃ - b₃c₁) y = d₁c₃ - d₃c₁,

(а₂с₃- а₃с₂) х + (b₂c₃ - b₃c₂) y = d₂c₃ - d₃c₂,

x + y + z = . (4)

у которой первое уравнение получается из второго, второе - умножением на c₃, эквивалентна системе 1.

Таким образом, если c₃ 0, то исследование системы 1 сводится к исследованию системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(а₁с₃- а₃с₁) х + (b₁c₃ - b₃c₁) y = d₁c₃ - d₃c₁,

(а₂с₃- а₃с₂) х + (b₂c₃ - b₃c₂) y = d₂c₃ - d₃c₂. (5)

Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнений системы 5 равны нулю. Тогда, если свободные члены системы 5 равны нулю, то любая пара чисел является решением системы 5 и, следовательно, любая тройка чисел (х; у; z), где х R, у R, z = - x - y ,

является решением системы 1. Если же хотя бы у одного из уравнений системы 5 свободный член отличен от нуля, то система 5, а следовательно, и система 1 не имеют решений.

Рассмотрим случай, когда не все коэффициенты уравнений системы 5 равны нулю.

Пусть, например, b₂c₃ - b₃c₂ 0.

Первое уравнение системы 5 умножим на b₂c₃-b₃c₂, второе - на (b₁c₃ - b₃c₁) и сложим; после очевидных преобразований получим уравнение , где

Таким образом, если b₂c₃ - b₃c₂ 0, то система 5 эквивалентна системе:

x + y = .

Если = = 0, то, очевидно, любая пара чисел (х; у), где х R,

у = - х, (6)

является решением системы 5.

Из 6 и последнего уравнения системы 4 находим

z = - х, (7)

Следовательно, если = =0 и b₂c₃ - b₃c₂ 0, то любая тройка чисел (х; у; z), где х R, а у и z находятся по формулам 6 и 7, являются решением системы 1.

Если =0, а 0, то система 5, а следовательно, и система 1 не имеют решений.

Пусть теперь 0. Тогда х = . Подставив это значение x во второе уравнение системы 5, найдем: у = ,

где

Наконец, подставив полученные значения x и y в третье уравнение системы 4, получим z = ,

где

Следовательно, если 0, то система 1 имеет единственное решение, которое находится по формулам х = , у = , z = . (8)

Эти формулы называются формулами Крамера. Если определитель линейной системы не равен нулю, то система имеет единственное решение;

если же определитель системы равен нулю, то она или не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений.

Определители , , , входящие в формулы Крамера, получаются из определителя заменой столбца из коэффициентов при соответствующих неизвестных на столбец из свободных членов.

Метод исследования и решения системы 1, который только что рассмотрен, называется методом исключения неизвестных или методом Гаусса.

При условии c₃ 0 из третьего уравнения системы 1 неизвестное выражается через х и у и это значение для z подставляется в первое и второе уравнения. В результате получается система двух уравнений с двумя неизвестными. В этом случае говорят, что система трех уравнений с тремя неизвестными исключением неизвестного z сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Заметим, что вместо z можно исключить любое неизвестное и что исключаемое неизвестное можно находить из любого уравнения, в которое оно входит.

Пример 1: Решить систему:

х=3,

2х+у=8,

4х-2у-z=3.

Решение: подставив х=3 во второе уравнение системы, получим:

у=8-2х=8-2х 3=2. Подставив в третье уравнение системы х=3, у=2, получим: z=4х-2у-3=4 х 3-2 х 2-3=5.

Ответ: х=3, у=2, z=5.

Метод Гаусса. Это метод решения СЛУ путём последовательного исключения переменных. В результате этих действий преобразуем систему к треугольному виду.

В процессе преобразований уравнения можно менять местами.

Получившиеся уравнения с нулевыми коэффициентами и свободным членом отбрасываются. Если в процессе получили уравнение вида:

0x₁+0x₂+…+0x_n=b, b 0, то такое уравнение будет противоречивым и из-за него вся система несовместна.

После преобразований получаем систему треугольного вида, где внизу будет уравнение:

, откуда найдём . Далее поднимаясь снизу вверх найдём

Т.е., система имеет единственное решение.

Решать СЛУ методом Гаусса удобно, если делать преобразования не с уравнениями, а с матрицей из коэффициентов.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

Пример 1. Решить систему уравнений:

система имеет единственное решение

Пример 2: Решить СЛУ методом Гаусса:

Заменим систему уравнений расширенной матрицей из коэффициентов и свободных членов. Затем методом элементарных преобразований сведем ее к треугольному виду.

При этом строки матрицы можно менять местами. Запишем систему уравнений:

Решая систему обратным ходом, найдем