Практическое занятие по теме «Вычисление производных»

Цель занятия: повторить правила и формулы вычисления производных, закрепить навыки вычисления производных.

Теоретический материал.

Пусть величина у зависит от аргумента х как у = f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x₁, x₂, то мы получаем величины у₁= f(x₁), и у₂ = f(x₂). Разность двух значений аргумента x₂, x₁ назовём приращением аргумента и обозначим как Δx = x₂-x₁. Если аргумент изменился на Δx = x₂-x₁ , то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции

у₁ = f(x₁), у₂ =f(x₂) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так:

Δf = у₁ – у₂ = f(x₂ ) - f(x₁) . Считается, что если величины x₂ и x₁, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δx = x₂ – x₁, - бесконечно мало.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало).

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.

Правила дифференцирования (и, v, w — функции аргумента х, по которому производится дифференцирование, с - постоянная).

1. Производная алгебраической суммы

2. Производная произведения

3. Производная частного (дроби) 4. Производная сложной функции (функции от функции).

Если

Порядок выполнения работы.

1)Изучите примеры нахождения производных.

Пример 1. Найдите производную функции:

; 2) 3)

Решение

1)

2)

Учитывая, что ; имеем

3)

Учитывая, что имеем

Пояснения

В задании 1 надо найти производную суммы по формуле ;

в задании 2 – производную произведения в задании 3 – производную частного

Также в заданиях 1 и 2 следует использовать формулу , а в задании 2 учесть, что при вычислении производной 2x постоянный множитель 2

можно вынести за знак производной

Пример 2. Вычислите значение производной функции в точках х = 4 и х = 0,01.

Решение.

Пояснения

Для нахождения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной следует учесть, что заданную разность можно рассматривать, как алгебраическую сумму выражений х² и , а при нахождении производной за знак производной вынести постоянный множитель ( - 5).

_{Пример 3.} Найдите значения х, при которых производная функции равна 0.

Решение

Тогда

Ответ: х = 2.

Пояснения

Чтобы найти соответствующие значения х, достаточно найти производную данной функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

Пример 4. Найдите производную функции:

₁₎ 2)

_{Решение.}

1)

Учитывая, что получаем

Пояснения

В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно производную степени и корня, но в основании степени и под знаком корня стоит не аргумент х, а выражение с этим аргументом (тоже функция от х). Следовательно, необходимо найти производные сложных функций.

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Найти соответствие между функцией и её производной.

1. С	2.	3. х	4.	5.	6.
7.	8.	9.	10.	11.	12.
13.	14.	15.	16.	17.	18.
19. 1	20.	21.	22.	23.	24.
25.	26.	27. 0	28.	29.	30.
31.	32.	33.	34.	35.	36.

2. Сопоставьте функции её производную.

Функция	Производная
		2х	-2 cosx sinx	cos(x+2)
x2 + 1
sin( x + 2)
lnx
cos2x

3) Вычислите производную функции:

1) у = ; а) х ⁶ ; б) ; в) 7х⁷ .

2) у = х³ + 5 ; а) 4х² +5 ; б) 3x² + ; в) 3х² + .

3) у = ; а) х ^{- 4} ; б) ; в) .

4) у = ; а ) ; б) - ; в) .

4) Вычислите значение производной функции у = при х = 7.

а	б	в	г
0		2

5) Вычислите производную сложной функции f(x) = .