Для задания множества следует:

1. Перечислить его элементы, например А={2, 6, 15} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15).

2. Указать свойства элементов множества, например A= {x| x²≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию x² ≤ 4.

Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов.

Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

М ножество B называют подмножеством множества А, если любой элемент множества В является элементом множества А. Обозначается В⊂А.

Множество - А={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, множество - В={1,3,5,7,9}

Пример. Пусть А, В, С - подмножества множества N: А={1, 2, 6, 18}; В={6, 1, 18}; С={2, 18, 6, 1}. В этом случае А = С; C⊂A и A⊂C, B⊂A.

Свойства включения множеств:

1. Пустое множество является подмножеством любого множества: ∅⊂А.

2. Л юбое множество является подмножеством самого себя, т.е. для любого множества А справедливо включение А⊂А.

3. Если А - подмножество множества B, а B - подмножество множества C, то А - подмножество множества C.

Примеры.

1. Множество детей является подмножеством всего населения.

2. Пусть множество А - множество красных яблок, а B - множество всех яблок. Тогда А⊂B.

3. Множество студентов-филологов третьего курса есть подмножество множества всех студентов университета.

Графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Вена. Замкнутая линия – круг Эйлера – ограничивает множество. (рис. 1-2 – диаграммы Эйлера-Вена)

2. Операции над множествами.

1. Пересечение множеств

П усть даны два множества А и В.

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A ∩ B. A∩B = {х | х ∈ A и х ∈ B}. Аналогично определяется пересечение любого числа множеств. Графически удобно пересечение множеств изображать в виде общей части двух или более кругов Эйлера–Венна

Примеры

1. А = {2n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 2, B = {3n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 3, тогда A ∩ B = {6n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 6.

2. А — отрезок [0; 5], В — отрезок [2; 7], тогда A ∩ B — отрезок [2; 5].

2. Объединение множеств

О бъединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A ∪ B.

A ∪ B = {х | х ∈ A или х ∈ B}.

Аналогично определяется объединение любого числа множеств.

Примеры

1. А = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, B = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, тогда

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}.

2. А = [0; 7], В = [3; 10], тогда A ∪ B = [0; 10].

3 . Разность множеств

Разностью (дополнением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B .

A \ B = {х | х ∈ A и х  B}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих только одному множеству А или В, обозначают A  B.

(A \ B) ∪ (В \ А)

Часто при решении задач вводят универсальное множество U — это самое большое множество элементов, рассматриваемых в задаче.

Д ополнением множества A до универсального называется множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству A. Обозначают дополнение множества .

= U \ A= {х | х ∈ U, хA}

Примеры

1. А = [–2; 0), B = [–1; 3). Тогда A \ B = [–2; –1), а B \ A = [0; 3).