Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнения с разделяющимися переменными

Вариант 1

1. y' =2е^3х – 4х² + 6. у(0) = 2

2. 2х(2+у) dy = (x²-7)(y-9) dx

Вариант 2

1. y' =4е^2х – 2х² + 3. у(1) = 3

2. (4xу²- xy) dx = (xy+x+y+1) dy

Задание 2. Решите однородное уравнение первого порядка

Вариант 1

1. x5y -7x. у(1) = 2

2. 11y y' = 3x+ y

Вариант 2

1. 3xy' =2e +9x. у(2) = 1

2. y y' = = x-y

Контрольные вопросы

1. Что называется дифференциальным уравнением 1-го порядка?

2. Написать общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

3. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения 1-го порядка?

4. Какая замена неизвестной функции позволяет свести однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка к уравнению с разделяющимися перемнными?

Литература.

Основные источники:

Элементы высшей математики, Григорьев В.П., Академия . 2014 г.

Дополнительные источники:

15. Пакет прикладных программ по курсу математики OC Windows, XP – сервисная программа.

16. MS Office, XP – сервисная программа

Интернет- ресурсы:

1. www.school.edu.ru/dok edu.

2. www.edu.ru/db/portal/sred/

3. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

4. Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

http://school.msu.ru

5. Образовательный математический сайт Exponenta.m

http ://www. exponenta.ru

6.Общероссийский математический портал Math-Net.Ru http://www.mathnet.ru

7. Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте

http ://www. alhnath.ru

Практическая работа по теме: «Численные методы вычисления определенного интеграла»

Цель. Познакомиться с вычислением интегралов по формулам прямоугольников и трапеций, приобрести навыки в реализации этих методов.

Теоретические сведения.

На практике часто приходится встречаться с определёнными интегралами, значения которых нельзя вычислить точно. Возникает необходимость приближённого вычисления определённых интегралов или численного интегрирования. Методы численного интегрирования применяются и в тех случаях, когда вычисление интегралов является слишком громоздким и при решении задач, содержащих функции, заданные таблично.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными.

Обычный прием механической квадратуры состоит в следующем:

• Данную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a;b] заменяют интерполируемой или аппроксимируемой функцией (х) простого вида;

• Затем приближенно полагают:

• Функция (х) должна быть такой, чтобы интеграл вычислялся непосредственно.

Рассмотрим некоторые методы вычисления определенных интегралов.

Метод прямоугольников

Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции:

Д ля этого отрезок [a; b] разобьем на n равных отрезков точками: а=x₀,x₁,...,x_n= b.

На каждом получившемся отрезке можно вычислить площадь прямоугольника. И так на отрезке [x₀; x₁] f(x)≈₀(x)≈y₀, а площадь

, и т.д.

Суммируя площади S₁, S_2,…, S_n, получим приближенно площадь всей фигуры, а следовательно и значение определенного интеграла во всему отрезку [a; b]:

,

. (1) – формула прямоугольников с недостатком;

(2) – формула прямоугольников с избытком.

Ошибка, получаемая при вычислении определенного интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n, т.е. чем меньше шаг h. Формула дает точное значение, если подынтегральная функция f(x) является многочленом нулевой степени, т.е. постоянна.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами: – абсолютная погрешность;

- относительная погрешность.

Пример. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение:

Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных частей.

Тогда а = 2, b = 5 , - шаг разбиения, - узлы разбиения.

.; f(x₀) = 2²= 4

; f(x₁) = 2 ,5²= 6,25

; f(x₂) = 3²= 9

; f(x₃) = 3,5²= 12,25

; f(x₄) = 4²= 16

. f(x₅) = 4,5²= 20,25.

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:

i	0	1	2	3	4	5
х	2	2,5	3	3,5	4	4,5
у	4	6,25	9	12,25	16	20,25

По формуле (1):

Для того чтобы вычислить относительную погрешность вычислений по формуле Ньютона-Лейбница находим точное значение интеграла:

Вычислим погрешность: ,