Примеры решения задач

Пример 1. От двух когерентных источников S₁ и S₂ ( = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине d_min пленки это возможно?

Решение. Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн, т. е.

, (1)

где ₁ – оптическая разность хода пучков световых волн до внесения пленки; ₂ – оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; k = 0, ±1, ±2, .... Наименьшей толщине d_min пленки соответствует k = 0. При этом формула (1) примет вид

. (2)

Выразим оптические разности хода ₂ и ₁. Из рис. 59 следует:

,

.

Подставим выражения ₁ и ₂ в формулу (2):

,

или

.

Отсюда

.

Произведем вычисления:

.

П

Рис. 59

ример 2. На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падает параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны  = 0,6 мкм. Число m возникающих при этом интерференционных полос, приходящихся на отрезок клина длиной l, равно 10. Определить угол  клина.

Решение. Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани. Эти отраженные пучки света когерентны. Поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы. Так как угол клина мал, то отраженные пучки 1 и 2 света (рис. 60) будут практически параллельны.

Т

Рис 60

емные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн:

. (1)

Разность хода  двух волн складывается из разности оптических длин путей этих волн и половины длины волны (/2). Величина /2 представляет собой добавочную разность хода, возникающую при отражении световой волны 1 от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) разность хода  световых волн, получаем

, (2)

где n – показатель преломления стекла (n = l,5); d_k – толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; – угол преломления.

Согласно условию, угол падения равен нулю; следовательно, и угол преломления равен нулю, a cos = 1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим

. (3)

Пусть произвольной темной полосе k-го номера соответствует толщина d_k клина, а темной полосе k+m-го номера – толщина d_k+m клина. Тогда (рис. 60), учитывая, что т полос укладывается на расстоянии l, найдем:

. (4)

Выразим из (3) d_k и d_k+m и подставим их в формулу (4). Затем, учитывая, что sin  =  (из-за малости угла ), получим

.

Подставляя значения физических величин, найдем

.

Выразим  в секундах. Для этого можно воспользоваться соотношением между радианом и секундой: 1 рад = 206265  2,0610⁵. Тогда

.

Пример 3. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного (₁ = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (₂ = 0,41 мкм) света.

Решение. Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок т дифракционного максимума:

, (1)

где d – период решетки;  – угол дифракции;  – длина волны монохроматического света. Так как sin  не может быть больше 1, то число m не может быть больше d/, т. е.

. (2)

Подставив в формулу (2) значения величин, получим:

(для красных лучей);

(для фиолетовых лучей).

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света m_max = 2 и для фиолетового m_max =4.

П

Рис. 61

ример 4. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света образует угол  = 97° с падающим пучком (рис. 61). Определить показатель преломления n₁ жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Решение. Согласно закону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления , где n₂₁ – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, .

Так как угол падения равен углу отражения, то и, следовательно, , откуда

.

Произведем вычисления:

.

Пример 5. Два николя N₁ и N₂ расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет  = 60°. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность I₀ естественного света: 1) при прохождении через один николь N₁; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

Решение 1. Естественный свет, падая на грань призмы Николя (рис. 62), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок света (о) вследствие полного отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через первую призму,

.

О

Рис. 62

тносительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I₀ естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I₁ поляризованного света:

(1)

Произведем вычисления:

.

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.

2. Плоскополяризованный пучок света интенсивности I₁ падает на второй николь N₂ и также расщепляется на два пучка различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный пучок полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность I₂ необыкновенного пучка, вышедшего из призмы N₂, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе):

,

где  – угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и плоскостью пропускания николя N₂.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получаем

.

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I₀ естественного света на интенсивность I₂ света, прошедшего систему из двух николей:

.

Заменяя отношение I₀/I₁ его выражением по формуле (1), получаем

Произведем вычисления:

.

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.

Пример 6. Плоскополяризованный монохроматический пучок света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластину, интенсивность I пучка света после поляроида стала равна половине интенсивности пучка, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения  кварца принять равной 48,9 град/мм.

Р

Рис. 63

ешение. Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (штриховая линия на рис. 63) перпендикулярна плоскости колебаний (I–I) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол

, (1)

где l – толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, определим угол , который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II–II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса

.

Заметив, что , можно написать

, или . (2)

Из равенства (2) с учетом (1) получим , откуда искомая толщина пластины

.

Произведем вычисления во внесистемных единицах:

.

Пример 7. Определить импульс p и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью  = 0,9с, где с – скорость света в вакууме.

Решение. Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:

. (1)

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле

, (2)

где m – масса движущейся частицы; m₀ – масса покоящейся частицы; – скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заменив в формуле (1) массу m ее выражением (2) и приняв во внимание, что , получим выражение для релятивистского импульса:

. (3)

Произведем вычисления:

.

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е₀ этой частицы, т. е. .

Так как и , то, учитывая зависимость массы от скорости, получаем или

. (4)

Произведем вычисления:

.

Так как во внесистемных единицах , то вычисления упрощаются:

.

Пример 8. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией T = 5 МэВ.

Решение. Решение задачи сводится к установлению соотношения между релятивистским импульсом p частицы и ее кинетической энергией Т.

Сначала установим связь между релятивистским импульсом и полной энергией частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т. е.

. (1)

Зависимость массы от скорости определяется формулой

. (2)

Заменив массу m в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание, что , получим

. (3)

Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем , откуда

. (4)

Очевидно, что

.

Поэтому равенство (4) можно переписать в виде , откуда релятивистский импульс

.

Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Т частицы: . Легко убедиться, что , поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится формулой

Вычисления удобно провести в два приема: сначала найти числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ. Таким образом,

.

Пример 9. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, ₀ = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) R_e поверхности тела.

Решение. Энергетическая светимость R_e абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана – Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой

, (1)

где  – постоянная Стефана–Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

, (2)

где b – постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (2) и (1), получаем

. (3)

Произведем вычисления:

Пример 10. Определить максимальную скорость _max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:

1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны ₁ = 0,155 мкм; 2) -излучением с длиной волны ₂= 1 пм.

Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

, (1)

где  – энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А – работа выхода; T_max – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

, (2)

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме;  – длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле

, (3)

или по релятивистской формуле

, (4)

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия  фотона много меньше энергии покоя Е₀ электрона, то может быть применена формула (3), если же  сравнима по величине с Е₀, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):

или

.

Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

,

откуда

, (5)

Проверим, дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения единиц:

Найденная единица является единицей скорости. Подставив значения величин в формулу (5), найдем

2. Вычислим энергию фотона -излучения:

,

или во внесистемных единицах

.

Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (₂ = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: . Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем

.

Заметив, что и , получим

.

Произведем вычисления^:

Пример 11. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол  = 90.

Энергия рассеянного фотона ₂ = 0,4 МэВ. Определить энергию фотона ₁ до рассеяния.

Решение. Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона:

, (1)

где – изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне; h – постоянная Планка; m₀ – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме;  – угол рассеяния фотона.

Преобразуем формулу (1): 1) заменим в ней  на ₂ – ₁; 2) выразим длины волн ₁ и ₂ через энергии ₁ и ₂ соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой ; 3) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на с. Тогда

.

Сократим на hc и выразим из этой формулы искомую энергию:

, (2)

где – энергия покоя электрона.

Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Так как для электрона Е₀ = 0,511 МэВ, то

.

Пример 12. Пучок монохроматического света с длиной волны  = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_e = 0,6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

Решение. 1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:

. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

, (2)

где Е_е – энергетическая освещенность; с – скорость света в вакууме;  – коэффициент отражения.

Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем

, (3)

Так как E_eS представляет собой поток излучения Ф_е, то

, (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности  = 1:

.

2. Произведение энергии  одного фотона на число фотонов п₁, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т. е. потоку излучения: , а так как энергия фотона , то

,

откуда

. (5)

Произведем вычисления:

.