Задачи для самостоятельного решения

1. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением s = A + Bt², где A = 8м, В = –2 м/с². Определить момент времени t, когда нормальное ускорение а_n точки равно 9 м/с². Найти скорость , тангенциальное a_ и полное a ускорения точки в тот же момент времени t. [1,5с; –6м/с; –4 м/с²; 9,84 м/с²]

2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям, x₁ = A₁t + B₁t² + С₁t³ и x₂ = A₂t + B₂t² + C₂t³ где A₁ = 4 м/с, В₁ = 8 м/с², С₁ = – 16м/с³, A₂ = 2м/с, В₂ = = –4м/с², С₂ = 1 м/с³. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости и точек в этот момент. [0,235 с; 5,1 м/с; 0,286 м/с]

3. Шар массой m₁ = 10 кг сталкивается с шаром массой m₂ = 4кг. Скорость первого шара , второго – . Найти общую скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, центральным, неупругим. [6,28м/с; –0,572 м/с]

4. В лодке массой М = 240кг стоит человек массой m = 60кг. Лодка плывет со скоростью = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью u = 4м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодки; 2) в сторону, противоположную движению лодки. [1 м/с; 3 м/с]

5. Человек, стоящий в лодке, сделал шесть шагов вдоль нее и остановился. На сколько шагов передвинулась лодка, если масса лодки в два раза больше (меньше) массы человека? [2 шага; 4 шага]

6. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой m = 5г. Жесткость пружины k = = 1,25 кН/м. Пружина была сжата на l = 8см. Определить скорость пульки при вылете ее из пистолета. [40 м/с]

7. Шар массой т₁ = 200 г, движущийся со скоростью = 10м/с, сталкивается с неподвижным шаром массой т₂ = 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упругий. Определить скорости шаров после столкновения. [–6 м/с; 4 м/с]

8. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64 % своей кинетической энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара больше массы первого? [В 4 раза]

9. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра т₁ = 12 кг. На цилиндр намотали шнур, к которому привязали гирю массой т₂ = 1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гири? [1,4 м/с²; 8,4 Н]

10. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами m₁ =100 г и m₂ = 300 г. Массу колеса М = 200 г считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы натяжения нити по обе стороны блока. [3,27м/с²; 1,31 Н; 1,96 Н]

11. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость  = 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз? [У первого больше в 1,2 раза]

12. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h = 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатится с наклонной плоскости? [3,55 м/с]

13. На верхней поверхности горизонтального диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проложены по окружности радиусом r = 50 см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска M = 10 кг, его радиус R = 60 см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой m = 1 кг и выпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельсов со скоростью  = 0,8 м/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск? [0,195 рад/с]

14. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n₁ = 14 мин^–1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до n₂ = 25 мин^–1. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. [210 кг]

15. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте H = 3200 км над поверхностью Земли. Определить линейную скорость спутника. [6,45 км/с]

16. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки x = 5 см, скорость ее  = 20 см/с и ускорение а = –80 см/с². Найти циклическую частоту и период колебаний, фазу колебаний в рассматриваемый момент времени и амплитуду колебаний. [4 с^–1; 1,57 с; /4; 7,07см]

17. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид , где A = 5 см,  = 2 с^–1. Найти момент времени (ближайший к началу отсчета), в который потенциальная энергия точки П = 10^–4 Дж, а возвращающая сила F = +510^–3 Н. Определить также фазу колебаний в этот момент времени. [2,04 с; 4,07 рад]

18. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой, имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний. [120° или 240°]

19. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями и , где A₁ = 4cм, ₁ = с^–1, A₂ = 8 см, ₂ = с^–1,  = 1 с. Найти уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба. [2x + y = 0]

20. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью  = 15 м/с. Период колебаний точек шнура T = 1,2 с. Определить разность фаз  колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x₁ = 20 м и x₂ = 30 м. [200°]