6. Элементы атомной физики и квантовой механики. Физика твердого тела Основные формулы

Боровская теория водородоподобного атома. Момент импульса электрона (второй постулат Бора)

, или ,

где m – масса электрона; _n – скорость электрона на n-й орбите; r_n – радиус n-й стационарной орбиты; – постоянная Планка; n – главное квантовое число (п = 1, 2, 3, ...).

Радиус n-й стационарной орбиты

,

где а₀ – первый боровский радиус.

Энергия электрона в атоме водорода

,

где E_i – энергия ионизации атома водорода.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода,

,

или

,

где n₁ и n₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число

,

где  – длина волны излучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга.

Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля

,

где p – импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

a) ; ;

б) ; ,

где m₀ – масса покоя частицы; т – релятивистская масса;  – скорость частицы; с – скорость света в вакууме; E₀ – энергия покоя частицы .

Соотношение неопределенностей:

а) (для координаты и импульса),

где p_x – неопределенность проекции импульса на ось X; x – неопределенность координаты;

б) (для энергии и времени),

где Е – неопределенность энергии; t – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где (x) – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; Е – полная энергия; – потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

,

где dw(x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dх.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до x₂

.

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

a) (собственная нормированная волновая функция);

б) (собственное значение энергии),

где n – квантовое число (n = 1, 2, 3, ...); l – ширина ящика. В области U =  и (x) = 0.

Атомное ядро. Радиоактивность. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

,

где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.

Закон радиоактивного распада

, или

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ – число ядер в начальный момент (t = 0);  – постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

.

В случае, если интервал времени t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада T_1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле

.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

.

Среднее время  жизни радиоактивного ядра, т. е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,

.

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

,

где т – масса изотопа; M – молярная масса; N_A – постоянная Авогадро.

Активность А радиоактивного изотопа

, или ,

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; A₀ – активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа

.

Дефект массы ядра

,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); (A – Z) – число нейтронов в ядре; т_р – масса протона; m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра.

Энергия связи ядра

,

где m – дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна , где дефект массы m – в а.е.м.; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. ~ 931 МэВ).

Теплоемкость кристалла. Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

где ₀ – нулевая энергия ; – постоянная Планка;  – круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов,

,

где R – молярная газовая постоянная; – характеристическая температура Эйнштейна; – молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

.

Теплота, необходимая для нагревания тела,

,

где т – масса тела; M – молярная масса; T₁ и Т₂ – начальная и конечная температуры тела.

Элементы квантовой статистики. Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К

,

где dn() – концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от  до  + d; m – масса электрона. Это выражение справедливо при  < _F (где _F – энергия или уровень Ферми).

Энергия Ферми в металле при T = 0 К

,

где n – концентрация электронов в металле.

Полупроводники. Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где E – ширина запрещенной зоны; ₀ – константа.

Сила тока в р-n-переходе

,

где I₀ – предельное значение силы обратного тока; U – внешнее напряжение, приложенное к p-n-переходу.

Контактные и термоэлектрические явления. Внутренняя контактная разность потенциалов

где и – энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; е – заряд электрона.