Сегментная клееная деревянная арка с затяжкой

Запроектировать трех шарнирную сегментную клееную деревянную арку со стальной затяжкой из круглой стали покрытия одноэтажного производственного здания.

Исходные данные. Здание Ι уровня ответственности, отапливаемое с температурно-влажностными условиями эксплуатации 1 класса. Район строительства по снеговой нагрузке – ΙΙΙ. Ограждающие конструкции – утепленные клееные фанерные плиты, укладываемые непосредственно по аркам. Кровля – мягкая, многослойная. Пролет сегментной арки 16 м, шаг 3 м. Материал верхнего пояса древесина хвойных пород 2 сорта (класса К24), клей на основе резорцина и меламина с предварительным перемешиванием компонентов, сталь затяжек ВСт3пс6-1.

Геометрический расчет. (см. рис. 4. 7,а).

Стрела подъема f = l/6 = 16/6 = 2,7 м.

Радиус кривизны

r = (l ² + 4 f ²)/(8 f) = (16 ² + 4˙2,7 ²)/(8˙2,7) = 13,2 м.

Центральный угол полуарки

sin = l/ 2 r = 16/ 2˙13,2 = 0,606; = 37^o18’; 2 = 74^o36’;

cos = 0,795.

Длина дуги арки

S = + 16/(3 f) ² = + 16/(3˙2,7) ² = 17,2 м.

Координаты точек оси арки

y _i = – (l/2 – x _i) ² – r + f = – (16/2 – 2) ² – 13,2 + 2,7 = 1,257 м.

Углы наклона касательной к расчетным сечениям

sin _i = (l – 2 x _i)/2 r ; cos γ _i = (r – f + y _i)/r;

sin ₁= (16 – 2˙2)/(2˙13,2) = 0,454;

cos ₁ = (13,2 – 2,7 + 1,257)/13,2 = 0,891.

Результаты подсчетов сведены в табл. 4. 3.

Рис. 4.6. Сегментная арка со стальной затяжкой

а - геометрические размеры; б - расчетная схема; в - опорный узел; г - коньковый узел; д - центральный узел затяжки

Статический расчет. Нагрузки на арку:

1) постоянные на 1 м² горизонтальной поверхности с учетом разницы арки между длиной дуги арки и ее проекции определяют вводя коэффициент k = S/l = 17,2/16 = 1,08:

от веса плиты покрытия

g ^н = 0,3˙1,08 = 0,32 кН/м ²;

от собственного веса арки

g _{с. в.}^н =(g ^н + s ^н)/[1000/(k _{с. в} l) - 1] =

=(0,32 + 1,26)/[1000/(2,5˙16) – 1] = 0,07 кН/м ²,

где s ^н= s 0,7 = 1,8˙0,7 = 1,26 кН/м ² – нормативная снеговая нагрузка [2];

k _{с. в.} = 2,5 – коэффициент собственного веса арок;

Координаты и углы наклона касательной к опасным

Таблица 4. 3. сечениям арки

Сечение	х	y		sin	cos
А	0	0	37o18’	0,606	0,795
1	2	1,257	27о00’	0,454	0,891
2	4	2,079	17o38’	0,303	0,953
3	6	2,547	8o45’	0,152	0,988
С	8	2,7	0	0	1
4	10 (6)	2,547	8o45’	0,152	0,988
5	12 (4)	2,079	17о38’	0,303	0,953
6	14 (2)	1,257	27о00’	0,454	0,891
В	16	0	37о18’	0,606	0,795

2) снеговая равномерно распределенная:

s ₁ = s μ ₁ = s l/ 8 f = 1,8˙16/ 8˙2,7 = 1,33 кН/м ²;

3)снеговая распределенная по треугольнику

s ₂ = s μ ₂ = 1,8˙2 = 3,6 кН/м ²; f/l = 2,7/16 = 1/6, μ ₂ = 2,0,

где μ ₁ и μ ₂ – коэффициенты, определяемые по прил. Г [2].

Нагрузки на 1 погонный метр арки (В = 3 м) сведены в табл. 4. 4, расчетная схема приведена на рис. 4. 7,б).

Расчет арки выполняют на два основных сочетания нагрузок:

1) постоянная g и снеговая s ₁, равномерно распределенная на половине пролета;

2) постоянная g и снеговая s ₂, распределенная на половине пролета по треугольнику.

Таблица 4.4 Нагрузки на арку, кН/м

Нагрузка	Нормативная нагрузка	Коэффициент надежности по нагрузке, γf	Расчетная нагрузка
Постоянная g: вес покрытия собственный вес арки	0,32х 3 = 0,96 0,07х 3 = 0,21	1,2 1,1	1,20 0,23
Итого	1,17	-	1,43
Снеговая s 1 Снеговая s 2	- -	- -	4,0 10,8

Определяют усилия в расчетных сечениях.

1. Усилия от нагрузки s ₁ = 4,0 кН/м, расположенной слева.

Опорные реакции

R _A = 3 s ₁ l/8 = 3˙4,0˙16/8 = 24 кН; R _B = s ₁ l/8 = 4,0˙16/8 = 8 кН;

Н = s ₁ l ²/ 16 f = 4,0˙16 ²/ 16˙2,7 = 23,7 кН.

Изгибающие моменты:

на левой половине арки М _i = R _A x _i – H y _I – 0,5 s ₁ x _i ²;

на правой половине арки М_i = R_B x _i – H y _i;

М ₁ = 24˙2 – 23,7˙1,26 – 0,5˙4,0˙2 ² = 10,14 кН м;

М ₂ = 14,7 кН м; М ₃ = 11,56 кН м; М ₄ = -12,44 кН м;

М ₅ = 8х 4 – 23,7˙2,08 = -17,3 кН м; М ₆ = -12,86 кН м.

Продольные силы:

на левой половине арки N _i = (R _A – s ₁ x _i)sin _i + H cos _i;

на правой половине арки N _i = R _B sin γ _i + H cos γ _i;

N _A = 24˙0,606 + 23,7˙0,795 = 33, 38 кН; N ₂ = 25, 01 кН;

N _C = Н = 23, 7 кН; N _B = 23, 71 кН.

Поперечные силы:

на левой половине арки Q _i = (R _A – s ₁ x _i) cos γ _i – H sin _i;

на правой половине арки Q _i = R _B cos _i – H sin _i;

Q _A = 24˙0,795 – 23,7˙0,606 = 4, 72 кН;

Q _C = R _A – s ₁ l/2 = 24 – 4,0х 16/2 = -8 кН; Q _B = 8 кН.

2. Усилия от нагрузки s₂ =10,8 кН/м.

Опорные реакции

R _A = 5 s ₂ l/24 = 5˙10,8˙16/24 = 36 кН;

R _B = s ₂l/24 = 10,8˙16/24 = 7,2 кН;

H = s ₂ l ²/ 48 f = 10,8˙16 ²/ 48˙2,7 = 21,33 кН.

Изгибающие моменты:

на левой половине арки M _i = R _A x _i – Н y _I – x _i ²(2 s ₂ + s ₁ x _i ²)/6;

на правой половине арки M _i = R _B x _I – H y _I;

М ₁ = 36˙2 – 21,33˙1,26 – 2 ²(2˙10,8 + 8,1)/6 = 25,32 кН м;

М ₂ = 27,63 кН м; М ₃ = 15,81 кН м; М ₄ = -11,19 кН м;

М ₅ = -15,57 кН м; М ₆ = -12,48 кН м.

Продольные силы:

на левой половине арки N _i = [R _A – 0,5( s₂ + s _i²)x _i]cos _i + H sin _I;

на правой половине арки N _i = R _B sin _i + H cos _I;

N _A = 38,78 кН;

N ₂ = [36 – 0,5(10,8 + 5,4)4] 0,303 + 21,33˙0,953= 21,42 кН;

N _C = Н = 21,33 кН; N ₅ = 22,51 кН; N _B = 21,33 кН.

Поперечные силы:

на левой половине арки Q _i = [R _A – 0,5(s ₂ + s _i²)x _i] cos γ _i – H sin _I;

на правой половине арки Q _I = R _B cos _I – H sin _I;

Q _A = 15,69 кН; Q _C = 7,2 кН; Q _B = -7,2 кН.

Значение усилий сводят в табл. 4.5.

Таблица 4.5 Усилия в сечениях полуарки

Сечения		Нагрузки												Расчетные сочетания
		от g=1,43кН/м при k =0,36		от снега s 1 = 4,0 кН/м				от снега s 2 = 10,8 кН/м
				слева		справа		на всем пролете		слева		справа
Изгибающие моменты М, кН м
1 2 3		-0,98 -0,94 -0,32		10,14 14,7 11,56		-12,86 -17,30 -12,44		-2,72 -2,6 -0,88		25,32 27,63 15,81		-12,48 -15,57 -11,19		24,33 26,69 15,49	-13,84 -18,24 -12,76
Продольные силы N, кН
А 2 С А С Затяжка		20,55 18,01 17,06		33,38 25,01 23,7		23,71 25,01 23,7		57,09 50,02 47,4		38,78 21,42 21,33		21,32 22,51 21,33		77,64*** 39,43 64,46***	- 43,02 - - 8
Поперечные силы Q, кН
	-1,18 0		4,72 -8		-8 8		-3,28 0		15,69 -7,2		-7,2 7,2		14,51 -
Распор Н, кН
	17,06		23,7		23,7		47,4		21,33		21,33		64,46***

П р и м е ч а н и е. * Гр. 2 + гр. 6. ** Гр. 2 + гр 4. *** Гр. 2 + гр 5.

Конструктивный расчет. Максимальный изгибающий момент М в сечении 2 равен М = 26,69 кН м, соответствующая продольная сила N = 39,43 кН. Приближенный момент сопротивления сечения

W _тр = M/(0,7 R _и) = 26,69/(0,7х 1,5) = 2542 см ³, R _и = R _c = 1,5 кН/см ².

Криволинейные блоки полуарки склеивают из досок сечением 27х110 мм после фрезерования досок по пластям и кромкам размером 32х125 мм.

Требуемая высота сечения h _тр = = = 37,2 см.

Принимают сечение высотой h = 14˙2,7 = 37,8 см.

Площадь сечения F = b h= 11˙37,8 = 415,8 см ²,

момент сопротивления W = b h ²/6 = 11˙37,8 ²/6 = 2620 см ³,

радиус инерции r = 0,289 h = 0,289˙37,8 = 10,96 см,

расчетная длина l _p = 0,58 S = 0,58˙17,2 = 9,98 м,

гибкость полуарки λ = l _p/r = 998/10,96 = 91,06 > 70,

коэффициент учета дополнительного момента при деформации

ξ = 1 – N λ ²/3000 R _c F = 1 – 39,43˙91,06 ²/(3000˙1,58˙415,8) = =0,834.

Расчетное сопротивление древесины сжатию

R _c =1, 5 m _б m _сл m _r =1,5˙1˙1,05˙1 = = 1, 58 кН/см ².

Коэффициент условий работы m _б = 1 при h = 37,8 < 50;

M _сл = 1, 05 при толщине слоев а = 2, 7 см;

m _r = 1 при отношении радиуса кривизны к толщине доски r/a = 1320/2,7 = 489 < 500.

Напряжение в сечении 2

σ = N/F + M/ξ W = 39,43/415,8 + 2669/0,834˙2620 = 0,09 + 1,22 = =1,31 < R _c = 1,58 кН/см ².

Верхняя и нижняя кромки полуарки закреплены связями в плоскости ската через каждые l _p = 150 см; l _p < 7 h = 7˙37,8 = 264,6 см, поэтому проверку устойчивости плоской формы деформирования можно не производить.

Расчет на скалывание. Максимальное значение поперечной силы на опоре А равно Q = 14,51 кН.

Статический момент сопротивления сечения

S = b h ²/8 = 11˙37,8 ²/8 = 1965 см ³,

момент инерции сечения

I = b h ³/12 = 11˙37,8 ³/12 = 49509 см ⁴,

напряжение скалывания

τ = Q S/I b = 14,51˙1965/49509˙11 = 0,05 < R _ск = 0,15 кН/см ².

Определение сечения затяжки. Растягивающее усилие в затяжке Н = 64,46 кН. Требуемая площадь сечения

F _тр = H/R = 64,46/22,5 = 2,86 см ².

Принимают сечение ветви затяжки из круглой стали диаметром 20 мм и площадью сечения F = 3,14 см ² > 2,86 см ².

Расчет опорного узла. (см. рис 4. 7, в). Горизонтальный торец полуарки опирается на колонну через опорную деревянную подушку. Затяжку с помощью хомута крепят на сварке к стальному башмаку, состоящему из двух боковых уголков 50х120 мм и упорной площадки из швеллера № 24.

На горизонтальную опорную площадку действует реакция

R _A = (g + s ₁)l/2 = (1,43 + 4,0)16/2 = 43,44 кН,

где g и s ₁ – постоянная и снеговая нагрузки на всем пролете арки.

Расчетное сопротивление смятию горизонтального торца арки под углом

α = 90^о – _А = 90^о- 37^о18’ = 52^о42; sin α = 0,795;

R _{см α} = R _c/[1 + (R _c/R _{см 90} – 1)sin ³α] = 1,5/[1 + (1,5/0,3 – 1)0,795 ³] = 0,5 кН/см ².

Принимают площадь горизонтального торцового сечения

F _Т = 11˙25 см ², напряжение в деревянной подушке

σ _α = R _A/F _T = 43,44/11˙25 = 0,16 кН/см ² < R _{см α} = 0,5 кН/см ².

Вертикальная опорная площадка испытывает смятие под углом

α = 37^о18’,

sin α = 0,606;

расчетное сопротивление смятию

R _{см α} = 1,5/[1 + (1,5/0,3 – 1)0,606 ³] = 0,79 кН/см ².

Напряжение в вертикальной торцевой площадке опорного узла при действии максимального усилия N = 77,64 кН равно

σ = N/F = 77,64/11˙24 = 0,29 кН/см ² < R _{см α} = 0,79 кН/см ².

Алгоритм расчета сегментной клееной деревянной арки с затяжкой. Исходные данные: нагрузки – g, s ₁, s ₂; геометрические характеристики – f, l, b, h; характеристики материалов – R _c, R _ск, R _y.

Геометрический расчет.

1. r = (l ² + 4 f ²)/ 8 f . 2. sin γ = l/ 2 r ; γ; cos γ; 2 γ.

3. S = + +16/(3f) ². 4. y _I = – (l/2 – x _i) ² - r + f.

5. sin γ _i = (l – 2 x _i)/ 2r .6. cos γ _i = (r – f + y _i)/r γ _i.

Статический расчет.

Нагрузка s ₁: слева: 7. R _A = 3 s ₁ l/8.

8. R _B = s ₁ l/8. 9. H = s ₁ l ²/ 16 f;

на левой полуарке: 10. M _i = R _A x _i – 0, 5 s _i x _i².

11. N _i = (R _A - s₁ x _i) sin _i + H cos _i.

12. Q _i = (R _A – s ₁ x _i) cos _i – H sin _i;

на правой полуарке: 13. M _i = R _B x _i – H y _i.

14. N _i = R _B sin _i + H cos _I; 15. Q _i = R _B cos _i – H sin _i.

Нагрузка s ₂: слева: 16. R _A = 5 s ₂ l/24. 17. R _B = s ₂ l/24.

18. H = s ₂ l ²/ 48 f.

на левой полуарке: 19. M _i = R _A x _i – H y _i – x _i²(2 s ₂ + s _i²)/6.

20. N _i = (R _A – 0,5(s ₂ + s _i²)x _i)sin _i + H cos _i.

21. Q _i = (R _A – 0,5(s ₂ + s_i²)x _i)cos _i – H sin _I;

на правой полуарке: 22. M _i = R _B x _i – H y _i.

23. N _i = R _B sin _i + H cos _i. 24. Q _i = R _B cos _i – H sin _i.

Усилия заносят в табл. 4.4.

Конструктивный расчет. 25. W _тр = М/0,7R _c. 26. h _тр = , h – по сортаменту. 27. F = b h. 28. W = b h ²/6. 29. λ = 0,58 S/ 0,289 h . 30. ξ = 1 – N λ ²/ 3000 R _c F .

31. σ = N/F + M/ ξ W ≤ R _c. 32. S’ = b h ²/8. 33. I = b h ³/12.

34. τ = Q S’/ I b ≤ R _ск. 35. F _зат = N _зат/R _y.

П р и м е р 4. 3