Кружально-сетчатый свод из косяков цельного сечения с узлами на болтах

Запроектировать покрытие спортивного зала с пространственными конструкциями в виде кружально-сетчатого свода из дощатых косяков с узлами на болтах.

Исходные данные. Здание в плане 12х18 м. Стены спортивного зала трехслойные кирпичные толщиной 510 мм. В торцах здание имеет кирпичные фронтоны, на которых лежат фронтонные арки свода. Кровля рулонная на клееных фанерных плитах с легким пористым утеплителем из базальта. Общая масса ограждающих конструкций составляет 40 кН/м² горизонтальной проекции покрытия. Условия эксплуатации 1 класса. Район строительства по снеговой нагрузке ΙΙΙ. Расчетный пролет l _c = 12 м (рис. 5. 6)

Рис. 5.6. Осевая схема свода

Геометрический расчет свода. Длина свода - расстояние между внутренними гранями фронтонных арок В = 18 м. Стрела подъема в осях

f = l _c/6 = 12/6 = 2 м.

Радиус дуги свода (осевой)

R = l ²_c/8 f + f/2 = 12 ²/8˙2 + 2/2 = 10 м.

Центральный угол половины свода β/2

sin β/2 = l _c/2 R = 12/2˙10 = 0,6,

отсюда β/2 = 36^o52’12^”; β = 73^o44’24^” = 73,74^o.

Длина дуги свода (в осях)

S _Д = π R β/180^o = 3,14˙10˙73,74^о/180^о = 12, 88 м.

Шаг сетки вдоль образующей свода (рис. 5. 7)

с = В/24 = 18/24 = 0,75 м.

Центральный угол β (рис. 5. 6) выбирают как четную аликвотную часть центрального угла поперечного сечения свода, т. е. такую, на которую угол делится без остатка

= β/12 = 73^o44’24”/12 = 6^o8’42”.

Отношение расстояния между фронтонами к длине дуги свода

В/S = 18/12,88 = 1,4.

Рис. 5.7. Кружально-сетчатый свод с узлами на болтах

Рис. 5.8. Разложение сил в узлах свода:

а - определение усилий в косяках; б - определение продольного распора в торцевом узле; в - разложение нормального усилия косяка для определения усилия смятия и усилия в болте

Определяют предварительно угол (рис. 5. 8) по приближенным формулам:

ctg α₀ = c/4 R sin /2 = 0,75/4х 10х sin 3^o4’21” =

= 0,75/ 40˙0,05355 = 0,35;

α ₀ = 70^o40’; sin α₀ = 0,9436.

Задаются величиной смещения S = 2 b + 30 мм = 130 мм:

sin α ₀ = s sin α ₀/4 R sin( β/2) =

= 0,13˙0,9436/4˙10˙sin 3^o4’21” = 0,12267/40˙0,05355 =

= 0,0573;

₀ = 3^о17’12”; α = α₀ + α₀ = 70^o40’ + 3^o17’12” = 73^о57’12”;

sin α = 0,96102.

Статический расчет сетчатого свода. Нормативная нагрузка от собственного веса покрытия g ^н₁ = 0,4 кН/м ², расчетная нагрузка g = 0,4х 1,1 = 0,44 кН/м ² горизонтальной проекции. Нормативная снеговая нагрузка для ΙΙΙ района строительства s ^н = 0,7 s = 0,7х 1,8 = 1,26 кН/м ² горизонтальной проекции.

Нормативная нагрузка от собственного веса сетчатого свода

G ^н_св = (0, 4 + 1, 26)/[1000/(10,5х 12) – 1] = 0,24 кН/м ²,

расчетная нагрузка от сетчатого свода

g ₂ = 0,24х 1,1 = 0,26 кН/м ² горизонтальной проекции.

Суммарная расчетная нагрузка от собственного веса покрытия

g = g ₁ + g ₂ = 0, 44 + 0, 26 = 0, 7 кН/м ² горизонтальной проекции.

Снеговая нагрузка при равномерном распределении будет

s ₁ = s c ₁ = 1,8х 0,75 = 1,35 кН/м ²,

где с ₁ = l _c/8 f = 12/8х 2 = 0,75.

При снеговой нагрузке, распределенной по треугольнику f _c/l = 1,6, коэффициент

с ₂ = 2,0 и s ₂ = s c ₂ = 1,8х 2 = 3,6 кН/м ².

Принимают расчетную полосу свода равной шагу сетки с = 0,75 м и рассчитывают выделенную полосу свода как двух шарнирную арку кругового очертания.

В каждой половине арки рассматривают восемь промежуточных сечений, расположенных по дуге на равном расстоянии, определяемым центральным углом = 4^о, кроме сечения 1, отстоящего от опоры на расстоянии, определяемым центральным углом

= 4^o52’12”.

Координаты принятых сечений:

х _n = l _c/2 – R sin _n; y _n= R cos _n – e,

где е = R – f = 10 – 2 = 8 м.

Вычисленные значения x _n и y _n приведены в табл. 5.1.

Расчет двух шарнирной арки сначала производят от единичной равномерно распределенной по горизонтальной проекции нагрузки 1 кН/м на левой половине пролета арки. Определяют опорные реакции:

A = 0,375 g l _с = 0,375˙1˙12 = 4, 5 кН;

B = 0,125 g l _с = 0,125˙1˙12 = 1, 5 кН.

Таблица 5.2 Числовые значения x _n и y _n

№ сечения	n’	sin n	cos n	R sin n	R cos n	x n	y n
1 2 3 4 5 6 7 8 9	32 28 24 20 16 12 8 4 0	0,5299 0,4695 0,4067 0,3420 0,2756 0,2079 0,1392 0,0698 0	0,8480 0,8829 0,9135 0,9397 0,9613 0,9781 0,9903 0,9976 1	5,299 4,695 4,067 3,420 2,756 2,079 1,392 0,698 0	8,480 8,828 9,135 9,397 9,613 9,781 9,903 9,976 10,000	0,701 1,305 1,933 2,580 3,244 3,921 4,608 5,302 6,000	0,480 0,829 1,135 1,397 1,613 1,781 1,903 1,976 2,000

Распор

H = 0, 5 k g l _c = 0,5˙0,7387˙1˙12 = 4, 4322 кН.

В рассматриваемом своде отношение l _c/f = 6, для которого значение коэффициента k = 0,7387.

Усилия в отдельных сечениях определяют по следующим формулам:

изгибающий момент в загруженной половине

M _n = A x _n – H y _n – g x ²_n/2;

в незагруженной половине

M _n’ = В х _n’ – H y _n’.

Нормальная сила:

N _n = H cos _n + (A – g x _n) sin _n;

N _n’ = H cos _n’ + B sin _n’.

Рассчитывают двух шарнирную арку под нагрузкой, распределенной по треугольнику на правой половине пролета. Распор определяют по формуле

H = k _τ s₂ l _c = 0,1194˙3,6˙12 = 5,158 кН.

Коэффициент k _τ для различных отношений l _c/f следующий:

l _c/f …………….. 3 4 5 6 7

k _τ …………….. 0,0707 0,085 0,1032 0,1194 0,1507

Опорные реакции:

В = s ₂ l _c/24 = 3,6˙12/24 = 1,8 кН;

А = 5 s ₂ l _c/24 = 5˙3,6˙12/24 = 9 кН.

Изгибающие моменты М _n в отдельных сечениях левой половины пролета определяют по формуле:

M _n = В х _n – H y _n,

а на половине пролета (при х _n > l _c/2) по формуле

M _n’ = s ₂/24 [l _c x _n – (2 x _n’ – l _c) ³/l _c] – H y _n’,

где s ₂/24 = 3,6/24 = 0,15 кН, а Н = 5,158 кН.

По табл. 5.3 можно получить значение изгибающего момента от постоянной нагрузки и от снеговой равномерно распределенной нагрузки на левой половине пролета. По данным табл. 5.3 получают значение изгибающего момента от снеговой нагрузки, распределенной по треугольнику на правой или левой половинах пролета. Все значения изгибающих моментов необходимо привести к расчетной полосе, равной шагу сетки

с = 0,75 м.

На основании выполненного расчета двух шарнирной арки при различных сочетаниях нагрузок (табл. 5.4) установлено значение максимального изгибающего момента в сечении 4 при сочетании постоянной нагрузки со снеговой нагрузкой треугольного очертания на левой половине пролета M _max = 3,7 кН м.

Значение распора при этом сочетании нагрузок:

Н _пос = K g l _c c = 0,7387˙0,7˙12˙0,75 = 4,65 кН;

Н ₂ = K s ₂ l _c c = 0,1194˙3,6˙12˙0,75 = 3,87 кН;

Н = Н_пос + Н ₂ = 4,65 + 3,87 = 8,52 кН.

Изгибающие моменты M _n от единичной

Таблица 5.3 равномерной нагрузки на левой стороне

№ сечения	x n	y n	A x n или В х n’	x 2n/2	Н y n	M n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8’ 7’ 6’ 5’ 4’ 3’ 2’ 1’	0,701 1,305 1,933 2,580 3,244 3,921 4,608 5,302 6,000 5,302 4,608 3,921 3,244 2,580 1,933 1,305 0,701	0,480 0,829 1,135 1,397 1,613 1,781 1,903 1,976 2,000 1,976 1,903 1,781 1,613 1,397 1,135 0,829 0,480	3,155 5,872 8,698 11,610 14,598 17,645 20,736 23,859 27,000 7,953 6,912 5,882 4,866 3,870 2,899 1,957 1,052	-0,245 -0,854 -1,868 -3,328 -5,261 -7,687 -10,617 -14,055 -18,000 - - - - - - - -	-2,127 -3,674 -5,030 -6,192 -7,149 -7,893 -8,434 -8,758 -8,864 -8,758 -8,434 -7,893 -7,149 -6,192 -5,030 -3,674 -2,127	+0,783 +1,344 +1,800 +2,090 +2,188 +2,065 +1,685 +1,046 +0,136 -0,805 -1,522 -2,011 -2,283 -2,322 -2,131 -1,717 -1,075

Опорная реакция А при этом же сочетании нагрузок

А = 0,5 g l _c + 5s ₂ l _c с/24 = 0,50,7˙12 + 5˙3,6˙12˙0,75/24 = 10,95 кН.

Поперечная балочная сила в сечении с абсциссой х ₄

Q ₄ = A – g x ₄ – s ₂(l _c – x ₄)x ₄ c/l _c =

10,95 – 0,7˙2,58 – 3,6(12 – 2,58)2,58˙0,75/12 = 3,68 кН.

Нормальная сила в сечении 4

N ₄ = H cos ₄ + Q ₄ sin ₄ = 8,52˙0, 9397 + 3,68˙0,342 = 9,26 кН.

Изгибающие моменты от треугольной снеговой

нагрузки на правой стороне при

Таблица 5.4 ширине свода в 1 м

№ сечения	х n, м	y n, м	В х n	Н y n	x n l c	(2xn-lc) 3/lc	x n l c-(2xn’ - - lc) 3/lc = K	s 2K/24	M n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8’ 7’ 6’ 5’ 4’ 3’ 2’ 1’	0,7 1,31 1,93 2,58 3,24 3,92 4,61 5,3 6 6,7 7,39 8,08 8,76 9,42 10,07 10,7 11,3	0,48 0,83 1,14 1,4 1,61 1,78 1,9 1,98 2 1,98 1,9 1,78 1,61 1,4 1,14 0,83 0,48	1,12 2,1 3,09 4,13 5,18 6,27 7,38 8,48 9,6 - - - - - - - -	-2,2 -3,81 -5,23 -6,42 -7,38 -8,16 -8,71 -9,08 -9,17 -9,08 -8,71 -8,16 -7,38 -6,42 -5,23 -3,81 -2,2	- - - - - - - - - 80,38 88,7 96,95 105,07 113,04 120,8 128,34 135,59	- - - - - - - - - -0,23 1,79 6 14,02 26,67 44,96 69,22 99,25	- - - - - - - - - 80,15 86,91 90,95 91,05 86,37 75,85 59,12 36,34	- - - - - - - - - 10,69 11,59 12,13 12,14 11,52 10,11 7,88 4,85	-1,08 -1,71 -2,14 -2,22 -2,2 -1,89 -1,33 -0,6 +0,43 +1,61 +2,88 +3,97 +4,76 +5,1 +4,88 +4,07 +2,65

Конструктивный расчет. Подбор сечения косяка свода. Отношение длины свода к длине дуги

В/S _Д = 18/12,88 = 1,4.

Коэффициент разгружающего действия жестких фронтонов k _ф = 1,5.

Изгибающие моменты в арочной полосе

Таблица 5.4 шириной с = 0,75 м, кН м

№ сечения	Постоянная нагрузка		Снеговая нагрузка, равномерно распределенная на половине пролета при		Снеговая нагрузка, распределенная по треугольнику на левой половине пролета при		Постоянная и равномерно распределенная снеговая нагрузка на половине пролета	Постоянная и снеговая нагрузка по треугольнику на левой половине пролета
	g = 1	g=0,7˙0,75=0,53
			s = 1,8	s1=1,3˙˙0,75 =1,01
					с = 1	с = 0,75
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8’ 7’ 6’ 5’ 4’ 3’ 2’ 1’	-0,292 -0,373 -0,331 -0,232 -0,095 +0,054 +0,163 +0,241 +0,272 +0,241 +0,163 +0,054 -0,095 -0,232 -0,331 -0,373 -0,292	-0,15 -0,19 -0,17 -0,12 -0,05 +0,03 +0,08 +0,12 +0,14 +0,12 +0,08 +0,03 -0,05 -0,12 -0,17 -0,19 -0,15	1,409 2,419 3,240 3,762 3,938 3,717 3,033 1,883 0,245 -1,449 -2,740 -3,620 -4,109 -4,180 -3,836 -3,091 -1,935	0,791 1,357 1,818 2,111 2,210 2,086 1,702 1,056 0,137 -0,813 -1,537 -2,031 -2,306 -2,345 -2,153 -1,734 -1,086	2,65 4,07 4,88 5,1 4,76 3,97 2,88 1,61 0,43 -0,6 -1,33 -1,89 -2,2 -2,22 -2,14 -1,71 -1,08	1,99 3,05 3,66 3,82 3,57 2,98 2,16 1,21 0,32 -0,45 -1 -1,42 -1,65 -1,67 -1,61 -1,28 -0,81	0,64 1,17 1,65 1,99 2,16 2,12 1,78 1,18 1,28 -0,69 -1,46 -2 -2,36 -2,47 -2,32 -1,92 -1,24	1,84 2,86 3,49 3,7 3,52 3,01 2,24 1,33 0,46 -0,33 -0,92 -1,39 -1,7 -1,79 -1,78 -1,47 -0,96

Принимают сечение косяка в середине его длины из досок после фрезерования:

b = 5 см; h = 18 см;

F _бр = 5˙18 = 90 см ²; W _бр = 5˙18 ²/6 = 270 см ³;

F_нт = 5(18 – 2) = 80 см²; W _нт ≈ W _бр = 270 см³.

При определении момента сопротивления сечения ослабление отверстием для болта, расположенным вблизи нейтральной оси, не учитывают. Приведенная гибкость свода

λ = 3 l _c/h sin α = 3˙0,58 S _Д/h sin α = 3˙0,58˙12,88/0,18˙0,961 = 130,

где свободная (расчетная) длина l₀ дуги свода при односторонней нагрузке согласно п. 6.23 [1] будет

l ₀= 0,58 S _Д;

ξ = 1 – (λ ²N _p/3000 F _бр R _c) =

1 – (130 ² σ ₀/3000 R _c) = 1 – (130 ²˙0,469/3000˙13) = 0,797,

σ ₀ = N _p/2 F _бр sin α = 8520 H/2˙90˙0,961 = 45,5 кН/см ² = 0,455 МПа.

Максимальное напряжение в косяках

σ = N ₄/2 F_нт sin α + M ₄/ξ k _ф W _нт sin α =

= 9260/2˙80˙0,961 + 370000/0,797˙1,5˙270˙0,961 =

= 1006,16 Н/см ² = 12,53 МПа < 13 МПа.

Расчет узловых болтов и затяжек. Болты рассчитывают по максимальному нормальному усилию в ближайшем к опоре узле, который определяется центральным углом, равным

β' = β/2 - β/2 = 36^o52’12” – 3^o4’21” = 33^o47’51”.

Расстояние от ближайшее опоры до данного сечения составляет

x' = l _c/2 – R sin β’ = 12/2 – 10˙0,5556 = 0,444 м.

Поперечная сила в этом сечении

Q _x’ = A – g x’ – s₂[(l _c – x’)/l _c]x’ c =

= 10,95 – 0,7˙0,444 – 3,6 [(12 – 0,444)/12]0,444˙0,75 = 9,49 кН.

Нормальная сила в сечении x’

N _max = H cos β’ + Q _x’ sin β’ =

= 8, 52 cos 33^o47’51” + 9, 49 sin 33^o47’51” =

= 8,52˙0,8311 + 9,49˙ 0,5556 = 12,35 кН.

Максимальное усилие, воспринимаемое болтом

N _б = N _max/2 sinα tg 2α = 12, 35/2˙0,961 tg 147^o54’24” =

= 12, 35/2˙0,961˙0,627 = 10,25 кН.

Определяют площадь поперечного сечения болта класса 4.6 [5]

F _нт = N _б/R _p = 10, 25/17,5 = 0,59 см ².

Принимают болты диаметром 12 мм. F _нт = 0,744 см ² > 0,59 см ².

Затяжки ставят через 4 с = 4˙0,75 = 3 м.

Усилие, воспринимаемое одной затяжкой

N _з = 3 H _max = 3˙18, 17 = 54, 52 кН,

где H _max = 0,7387(0,7 + 1,35)12 = 18,17 кН/м - максимальный распор от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету при ширине расчетной полосы в 1 м (от собственного веса покрытия и снеговой нагрузки).

Определяют необходимую площадь сечения затяжек

F _{нт. з} = N _з/R _p = 54,52/17,5 = 3,11 см ².

Принимают затяжку из круглой стали класса 4.6 с осаженными под нарезку концами до диаметра 24 мм

d _з =20 мм; F _бр = F _нт = 3,14 см ² > 3,11 см ².

Напряжение в затяжках

σ = 54,52/3,14 = 17,36 кН/см ² = 173,6 МПа < 175 МПа.

Подвески приняты d _п = 5 мм.

Определяют размеры шайбы из условия смятия поперек волокон древесины мауэрлата

F _ш = N _з/R _{см 90} = 54,52/0,4 = 136,3 см ².

Принимают размеры шайбы120х120х14 мм. При этом напряжения смятию древесины будут

σ _{см 90} = N _з/F_{ш. нт} = 54,52/(12˙12) – 0,785˙2,6 ² = 52,54/138,69 =

= 0,39 кН/см ² = 3,9 МПа < 4 МПа.

Проверяют толщину шайбы из ее расчета на изгиб. Изгибающий момент шайбы

М _ш = N _з[0,5(l ₀ + h _в) – d _з]/4 = 52,54[0,5(12 + 2,8) – 2,4]/4 =

= 13,135˙5 = 65,675 кН см.

Напряжение изгибу в шайбе

σ _ш = 65,675˙6/(12 – 2,6)1,4 ² = 16,21 кН/см ² =

= 20,98 кН/см ² ≈ 210 МПа = 210 МПа.

Расчет мауэрлатных брусьев. Мауэрлатные брусья опираются по всей длине на продольные стены, а потому работают только в горизонтальном направлении с расчетным пролетом, равным расстоянию между затяжками

M _max = 0,125 H _max l ² = 0,125˙18,17˙3 ² = 20, 44 кН м.

Мауэрлаты сосотят из двух независимо работающих брусьев сечением 2х20х20 см. Суммарный момент сопротивления их с учетом ослабления W _нт = 1900 см ³. Напряжение

σ _и = M _max/W _нт = 2044/1900 = 1,08 кН/см ² = 10,8 МПа < 13 МПа.

Расчет крепления продольного настила к фронтону. Продольную силу распора, передающуюся на фронтон в направлении, перпендикулярном его плоскости (вдоль образующей свода) определяют от каждого примыкающего к нему узла сетки по формуле

N _p = N _max ctg α = 12, 35 ctg 73^o57’12” = 12,35˙0,288 = 3, 56 кН.

Продольный настил крепят к фронтону гвоздями диаметром d _гв = 0,4 см и длиной 10 см; настил принят из досок размером 19х125 мм.

Необходимое количество гвоздей на промежуток между двумя смежными узлами:

n_гв = N _p/T = 3,56/0,436 = 8,2 гвоздей,

где Т – наименьшая расчетная несущая способность, найденная по формулам

табл. 20 [1]:

Т _а = 0, 8 а d _гв = 0,8˙1,9˙0,4 = 0,608 кН;

Т _и = 2,5 d ² + 0,01 a ² = 2,5˙0,4 ² = 0,01˙1,9 ² = 0,436 кН

Принимают по два гвоздя на каждую доску

(1288˙2)/(12˙12,5) = 17 шт. > 8,2 шт.

Вертикальная нагрузка, передающаяся на метр длины дуги жесткого фронтона

q _ф = [(g + s ₁)B/2](1 – 2/3 k _ф) = [(0,7 + 1,35)18/2](1 – 2/3˙1,5) =

= 10,8 кН/м,

что должно быть учтено при расчете кирпичной фронтонной стены.

Определение геометрических размеров элементов свода. Исходя из принятого сечения косяков, задаются расстоянием s между проекциями осевых линий нижних граней набегающих косяков на плоскость, совпадающую с нижней гранью сквозного косяка:

s = 2 b + 30 мм = 2˙50 + 30 = 130 мм.

Наружный радиус

R _н = R + h/2 = 10000 + 180/2 = 10090 мм = 10, 09 м

Внутренний радиус

R _в = R – h/2 = 10000 – 180/2 = 9910 мм = 9, 91 м.

Основные данные

β/2 = 3^o4’21”; β = 6^o8’42”; β/2 = 36^o52’12”; tg β/2 = 0,05368; sin β/2 = 0,05363;

cos β = cos 6^o8’42” = 0,9942; sin β = 0,1068; tg β = 0,10745; sin β/2 =sin 36^o52’12” = 0,6;

cos β/2 = 0,8006; tg β/2 = 0,8.

k = 1/cos β = 1/0, 9942 = 1, 0058; k ² = 1, 0058 ² = 1, 01167;

(1 + k) ² = (1 + 1, 0058) ² = 4, 0232;

H₀ = R _в tg β/2 = 9,91˙0, 05368 = 0,532;

Н ₀ ² = 0,532 ² = 0,283;

s ² = 0,130 ² = 0,01169 м ²;

(с/2) ² = (0,75/2) ² = 0,1406 м ²;

а = [(1 + k) ² H ₀ ² – s ² k ²/4] = [4,0232˙0,283 – (0,0169˙1,01167)/4] =

= 1,1386 – 0,00425 = 1,13435;

b ₁ = с Н ₀(k + 1) = 0,75˙0,532(1,0058 + 1) = 0,8003;

с ₁ = (с/2) ² – s ²/4 = 0,375 ² – 0,0169/4 = 0,1406 – 0,0042 = 0,1364.

Угол α между нижними ребрами косяков и образующей свода:

ctg α = (b ₁ - – 4 a c ₁)/2 a = (0,8003 - – 1,13435х 0,1364)/2˙1,13435 = 0,288;

α = 73^o56’ (вместо 73^o57’12” по приближенной формуле)

sin α = 0,96101; tg α = 3,4722; cos α = 0,27676.

К о с я к № 1 (рис. 5.9). Длина косяка №1 по нижней кромке:

s ₀ = 2 H ₀/sin α + c/cos α(1 + cos β) – b ctg α = 2˙532/0,96101 + 750/0,27676(1 + 0,9942) – 50˙0,288 = 1107 + 1355 – 14 = 2448 мм.

Расстояние от нижней кромки сквозного косяка до низа торца набегающего косяка:

H = (c/2) tg α tg = (375/2) ˙3,4722˙0,05368 = 35 мм.

Угол скоса торца косяка в плоскости его боковой грани:

tg δ ₁ = tg β/2 = 0,05368/0,96101 = 0,05586,

откуда δ ₁ = 3^o11’50”; cos δ ₁ = 0,99588.

Вертикальная проекция крайнего ребра торца

h₁ = (h – H) 1/cos δ ₁= (180 – 35)1/0,99588 = 146 мм.

Горизонтальная проекция: е ₁ = h ₁ tg δ ₁ = 146˙0,05586 = 8 мм.

Полная длина косяка №1:

s ₁ = s ₀ + 2 e ₁ = 2448 + 2˙8 = 2464 мм.

Углы в трехгранной пирамиде:

tg = tg α cos β = 3,4722˙0,9942 = 3,452.

= 73^o50’; sin = 0,9604; cos = 0,2782;

cos ξ = cos α/cos = 0,27676/0,2782 = 0,9948; ξ = 5^o50’39”;

tg ξ = 0,10236. tg = tg α/cos β = 3,4722/0,9942 = 3,492;

= 74^o01’14”. cos η = cos /cos α = 0,27532/0,27676 = 0,995;

η = 5^o43’46”

sin = tg δ₁ tg α = 0,05586˙3,4722 = 0,19396;

= 11^o11’02”; cos = 0,98101;

ψ = 180^o – α – = 180 – 73^o56’ – 74^o01’14” = 32^o2’46”;

ψ’ = 180^o – α – = 180^o – 73^o56’ – 73^o50’ = 32^o14’;

tg ψ’ = 0, 63054; ctg ψ’ = 1, 5859; cos ψ’ = 0, 84588;

sin ψ’ = 0, 53337; tg ψ’/2 = tg 32^o14’/2 = tg 16^o7’ = 0, 28895.

Длина торцевого скоса в плоскости нижней грани косяка (рис. 5.9)

d ₁ = b ctg ψ’/cos β = 50˙1, 5859/0,9942 = 79 мм.

Расстояние вертикальной оси крайних отверстий от нижней вершины торца косяка

α ₁ = [(s + b) cos ψ’ – b]/2 sin ψ’ cos ξ – h ₁ tg ξ/2 =

= [(130 + 50)0,84588 – 50]/2˙0,53337˙0,9948 - 146˙0,10236/2 =

= 89 мм.

Длина продолговатого отверстия в середине косяка:

l ₁ = b tg ψ’ + d _б/cos ψ’ + 4 = 50˙0, 63054 + 12/0, 84588 + 4 = 48 мм.

Расстояние от горизонтальной оси среднего отверстия до нижней грани косяка:

h₁ = [(s + b)/2 tg + H₀/ sin ] tg ξ + h ₁ cos /2 cos ξ =

= [(130 + 50)/2˙3,452 + 532/0,9604]0,10236 +

+ 146˙ 0,98101/2˙0,9948 = 131 мм.

К о с я к № 2 (рис. 5.9). Угол наклона ребра опорного торца δ₂:

tg δ₂ = tg β/sin α = 0,10745/0,96101 = 0,1118; δ₂ = 6^o21’52”;

cos δ₂ = 0,99383.

Стрела f ₀ наружной дуги свода, стягивающей центральный угол 2 β

f₀ = R _н(1 – cos β) = 10090(1 – 0,9942) = 58 мм.

Вертикальная проекция ребра 1 – 2 опорного торца косяка

h'² = h – f ₀ = 180 – 58 = 122 мм.

Длина торцевого скоса d₂ в плоскости нижней грани косяка

d₂ = b ctg α = 50˙0,288 = 14 мм.

Горизонтальная проекция торцевых ребер:

е ₂ = h’₂ tg δ ₂ = 122˙0,1118 = 14 мм.

Полная длина косяка № 2:

s ₂ = 0,5 s ₁ + (R_в + h’₂) tg δ ₂ + d ₂/2 =

= 0,5˙2464 + (9910 + 122) ˙0,1118 + 14/2 = 2361 мм.

Вертикальная проекция крайнего ребра опорного торца

180 -58(2361 – 2464/2)/2361 – 2464/2 -14/0,99383 = 180 – 59 = 121 мм.

К о с я к № 3 (рис. 5.9). Длина скоса опорного торца в плоскости нижней грани косяка d ₃ = d ₂ = 14 мм. Высота опорного торца h ₃ = h = 180 мм. Полная длина косяка № 3:

S ₃ = 0, 5 (s ₁ + d ₃) = 0, 5(2464 + 14) = 1239 мм.

К о с я к № 4 (рис. 5.9). Высота торца, примыкающего к торцевой арке

h₄ = h = 180 мм.

Длина торцевого скоса в плоскости нижней грани

d₄ = b tg α = 503, 4722 = 174 мм.

Полная длина косяка № 4:

s₄ = 0, 5 (s ₁ + d ₄) = 0,5(2464 + 174) = 1319 мм.

К о с я к № 5 (рис. 5.9). Высота опорного торца

h _s = h = 180 мм.

Длина торцевого скоса, примыкающего к мауэрлатному брусу

d₃/2 = 14/2 = 7 мм.

Длина торцевого скоса, примыкающего к торцевой арке

d₄/2 = 174/2 = 87 мм.

Полная длина косяка № 5:

S _s = 0, 5 s ₁ = 0,5˙2464 = 1232 мм.

Рис. 5.9. Косяки свода и мауэрлатные врубки в опорных узлах

В р у б к и в м а у э р л а т н ы х б р у с ь я х (рис. 5.9). Горизонтальная проекция врубки

h _г = h sin β/2 = 180˙0,6 = 108 мм.

Вертикальная проекция врубки

h _в = h cos β/2 = 180˙0,8 = 144 мм.

Глубина врубки

δ _в = h _в sin β/2 = 144˙0,6 = 86 мм.

Угол наклона ρ ребра врубки, примыкающего к торцевому ребру коска № 2:

tg ρ = sin β/tg α = 0,1068/3,4722 = 0,03095; ρ = 1^o46’22”.

Длина проекции верхних ребер наклонных боковых граней врубки на верхнее ребро мауэрлатного бруса:

t₃ = δ _в ctg α = 86˙0,288 = 25 мм;

t ₂ = t₃/cos δ ₂ + δ _в(tg β/2 – tg δ ₂) tg ρ =

= 25/0,99383 + 86(0,8 – 0,1118)0,03095 = 27 мм.

Длина опорной площадки понизу:

l _н =(s + b)/2 + b/2 sin α + (h – h ₂ cos ρ/cos δ ₂)tg ρ = (130 + 50)/2х 0,9604 + 50/2˙0,96101+(180 – 121/0,9953)0,03095 = 122 мм.

То же, по приближенной формуле

l _н = (s + 2 b)/2 sin α = (130 + 2˙50)/2˙0,96101 = 120 мм.

Длина опорной площадки поверху

l _в = l _н – h tg ρ = 122 – 180˙0,03095 = 116 мм.

Взаимное смещение противоположных опорных узлов сетки

2 ν = s/2 sin α =130/2˙0,96101 = 68 мм.

Алгоритм расчета кружально-сетчатого свода из косяков цельного сечения с узлами на болтах. Исходные данные: нагрузки – g, s; геометрические характеристики – l _c, B, b, h, d _з, d _п l, d _гв, а; характеристики материалов – R _c, R _p, R _{см 90}, R _y.

Геометрический расчет.

1. f = l _c/6. 2. R = l²_c/8 f + f/2.

3. sin β/2 = l _c/2 R; β/2; β.

4. S _Д = π R β/180^o. 5. с = В/24. 6. β = β/12.

7. ctg α ₀ = c/4 R sin β/2; α ₀; sin α ₀.

8. sin α ₀ = s sin α ₀/4 R sin β/2; α ₀; 9. α = α ₀ + α; sin α.

Статический расчет.

10. s ₁ = s _f c ₁; c ₁ = l _c/8 f. 11. s ₂ = s _f c ₂.

12. x _n =l _c/2 – R sin _n.13. y _n = R cos _n – e; e = R – f. 14. A = 5/24 s ₂ l _c. 15. B = s ₂ l _c/24. 16. H = k _τ s₂ l _c. 17. M _n =В x _n - H y _n.

18. M _n’ = s₂ [l _c x _n – (2 x _n’ – l _c)³/l _c]/24 – H y _n’.

19. H _пос = K g l _c c. 20. H ₂ = K s ₂ l _c c.21. H = H _пос + Н ₂.

22. A = 0,5 g l _c + 5 s ₂ l _c/24.

23. Q ₄ = A – g x ₄ – s ₂(l _c – x ₄) x ₄ c/l _c.24. N ₄ = H cos ₄ + Q ₄ sin ₄.

Усилия записывают в табл. 5.2 … 5.4.

Конструктивный расчет. 25. F_бр = b h; 26. W _бр = b h ²/6.

27. λ = 3 l _c/h sin α.

28. l ₀ = 0,58 S _Д. 29. ξ = 1 – λ N _p/3000 F_бр R _c.

29. σ = N ₄/2 F _бр sin α + M ₄/ξ k_ф W _нт sin α ≤ R _c.

Расчет узловых болтов и затяжек. 30. β' = β/2 - β/2.

31. x' = l _c/2 – R sin β. 32. Q _x’ = A – g x ’ – s c ₂ – [(l _c – x ’)/l _c] x ’ c.

33. N _max = H cos β’ + Q _x’ sin β’. 34. N _б = N _max/2 sin α tg 2 α.

35. F _нт = N _б/R _p. 36. N _з = 3 H _max. 37. σ = N _з/F _нт ≤ R _p.

38. F _ш = N _з/R _{см 90}. 39. σ_{см 90} = N _з/F_{ш. нт} ≤ R _{см 90}.

40. М _ш = N _з[0,5(l ₀ + h _в) – d _з]/4. 41. σ _ш = М _ш/W _ш ≤ R _y.

Расчет мауэрлатных брусьев. 42. M _max = 0,125 H _max l ².

43. σ _и = M _max/W _нт ≤ R _c.

44. N _p = N _max ctg α. 45. Т _гв = 2,5 d ²_гв + 0,01 а ². 46. n _гв = N _p/ Т _гв.

Определяют геометрические размеры элементов свода. Размеры основных косяков свода и мауэрлатного бруса с врубкой показаны на рис. 5.9.

П р и м е р 5. 2