5.7 Группы и теория сигналов

Одним из перспективных направлений в развитии теории сигналов, является направление, основанное на теоретико-групповых представлениях. Это связано с тем, что при своем распространении сигнал подвергается различным преобразованиям, связанными со свойствами среды, а также движениями источника и приемника сигналов.

Групповой подход позволяет с единых позиций трактовать значительный круг теории сигналов - выявлять структуру, классифицировать сигналы по признаку преобразований его носителя (время, частота), что является базой для разработки единых методов их обработки, согласованных с этими преобразованиями.

На основе теоретико-групповых представлений был сильно развит понятийный аппарата теории сигналов. Также применение теории групп позволило обобщить корреляционно-спектральную теория.

5.8 Связь между распознаванием образов и теорией групп

Имеются некоторые области, в которых проявляется связь между теорией групп и распознаванием образов.

Здесь, рассматривая задачу распознавания образов, имеем в виду, что мы работаем с графическими объектами, определенными на непрерывных множествах точек плоскости.

Первая область взаимосвязи встречается при исследовании инвариантных свойств графических объектов.

Вторая же область (наиболее важная с точки зрения Ричардсона) - формирование математических моделей классов в пространстве образов. Здесь понятие группы может обеспечить нас мощными средствами для компактных описаний. Например, класс всех треугольников можно описать с помощью единого эталонного треугольника и аффинной группы.

5.9 Теория групп и криптография

Очень широкое применение нашла теория групп в области криптографии и защиты информации. Можно сказать, что это одна из основ криптографии.

Причина этого кроется в том, что современная криптография оперирует различными алгебраическими структурами. В частности, в качестве исходных пространств открытых и шифр сообщений в криптосистемах в настоящее время используются множества с одной или двумя операциями. При этом выполнение аксиом группы очень часто оказывается необходимым для правильного функционирования криптосистемы.

Примером криптосистемы, основанной именно на группах и их свойствах ( а не на кольцах или полях) может служить ассиметричная криптосистема Эль-Гамаля. В данной криптосистеме пространством открытых текстов является некая группа простого порядка. Кроме того, на свойствах используемой группы в данном случае оказывается основана безопасность данной шифр-системы. Более точно, мы знаем, что трудность взлома криптосистемы Эль-Гамаля эквивалентна трудности решения задачи о вычислении дискретного логарифма в конечной группе.

Это всего лишь один маленький пример из бесчисленного множества. Фактически любая криптосистема строится на структуре с групповыми свойствами. Структуры конечно могут быть очень разнообразны: от колец вычетов до целочисленных решеток.

Хотелось бы отметить еще, что некоторые аспекты теории групп имеют взаимосвязь с самыми новыми и востребованными областями информационной безопасности. Здесь мы имеем в виду область, которую сейчас часто называют -«облачные вычисления».

Поясним более подробно эту зависимость. Как известно, «облачные вычисления» - это некие протоколы, позволяющие осуществлять вычисления над данными в зашифрованном виде на недоверенных серверах. Т.е., облачные вычисления дают возможность что-то вычислять над данными, не раскрывая сами данные. Один из самых известных способов организовать облачные вычисления - это использовать некоторые специальные криптосистемы, которые позволяют отобразить операции над открытыми текстами в операции над шифр текстами. И здесь возникает понятия гомоморфизма, которое нам хорошо известно из теории групп. Речь идет о так называемых гомоморфных криптосистемах. Гомоморфная криптосистема имеет в своем основании две группы (пространство открытых и шифр текстов), между которыми имеется гомоморфизм. Хотя конечно здесь могут быть и не группы, а кольца и соответствующий гомоморфизм колец. Наличие криптосистемы с несколькими гомоморфизмами, образующими базис в пространстве операций, может позволить осуществлять облачные вычисления произвольного вида.

Итак, мы увидели, что теория групп, общая алгебра неразрывно связанны с современной криптографией и самыми передовыми областями защиты информации.