5.14 Применение к кристаллографии

Аппарат теории групп нашел широкое применение в кристаллографии. Здесь, как и в биологии, большую роль играет связь понятия группы и симметрии.

Свое первое применение в эт ой области теория групп нашла в конце XIX века. В 1890-1891 гг. русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров и немецкий математик А. Шёнфлис независимо друг от друга решили методами теории групп задачу классификации всех кристаллических пространственных решеток. Они установили наличие 230 пространственных групп симметрии, состоящих из совокупности самосовмещений кристаллических структур. Точки, получаемые друг из друга преобразованием данной группы, называются гомологичными по отношению к этой группе и образуют так называемую правильную систему.

В настоящее время исследование структуры кристаллических веществ включает в себя определение их федоровских групп.

(О первых применениях теории групп в теории кристаллов можно найти в [1].)

Напоследок хочется отметить, что сейчас в кристаллографии большую роль играют бесконечные группы и группы Ли.

5.15 Теория групп и её приложения к физике элементарных частиц

Как уже говорилось, на рубеже XIX и XX вв. теория групп приобрела необычайную разветвленность, составив ядро современной алгебры. Ее составляет ряд высокоразвитых теорий: конечных групп, бесконечных дискретных групп, непрерывных групп, в том числе групп Ли. Теоретико-групповые методы проникли в ряд математических дисциплин и их приложений. Открытия де Бройля, Шредингера, Дирака и др. в квантовой механике и в теории структуры материи показали, что современная физика должна опираться на теорию непрерывных групп, в особенности на теорию представлений групп линейными операторами, теорию характеров и др., разработанные Картаном, Г. Вейлем и другими учеными.

Теория групп в настоящий момент нашла применения во многих областях физики.

В частности теория групп имеет приложения к физике элементарных частиц. Основную роль в современной физике элементарных частиц играют унитарные групп SU(2) и SU(3). Действительно, группа SU(2) является группой спиновых и изотопических преобразований, а также составляет основу группы калибровочных преобразований электрослабых взаимодействий SU(2) x U(1) в модели Салама-Вайнберга-Глэшоу. Группа SU(3) в свою очередь, является основой модели унитарной симметрии и кварковой модели с тремя ароматами, а также группой цвета, т.е., на ней покоится все здание квантовой хромодинамики.

Также стоит отметить, что вопрос о классификации частиц тесно связан с представлениями унитарных групп.

Другими важными примерами конкретного применения формализма теории групп и их представлений служат примеры вычислений таких важнейших характеристик элементарных частиц как магнитные моменты и аксиально-векторные константы связи в модели унитарной симметрии и кварковой модели.

5.16 Применение теории групп в квантовой механике

Имеется три основных аспекта применения теории групп в квантовой механике: 1) систематизация энергетических уровней и соответствующих собственных состояний; 2) качественное исследование расщепления энергетических уровней, возникающего при добавлении поправочных членов к искомому приближенному гамильтониану; 3) для оценки произвольных матричных элементов и для установления общих правил отбора, определяющих, когда матричные элементы отличны от нуля.

Теория групп не просто является особым методом решения нескольких наиболее трудных задач квантовой теории. В квантовой механике сложных систем практически все общие утверждения, которые могут быть сделаны относительно таких систем, зависят от их свойств симметрии. Теория групп является систематическим единым методом изучения и использования этих свойств симметрии. Т.е. теория групп в квантовой механике - это инструмент, имеющий универсальное применение.