5.12 Применение методов теории групп в квантовохимических расчетах

Методы теории групп в настоящее время широко применяются в химии.

В частности, теория групп применяется к вопросам строения молекул. В основе применения абстрактного аппарата теории групп к конкретным вопросам строения молекул лежат свойства симметрии исследуемых объектов. Можно выделить два типа симметрии: а) симметрия относительно пространственных преобразований, б) симметрия относительно перестановок тождественных частиц. Оба эти типа симметрии вытекают из свойств уравнения Шредингера для многоэлектронных систем. Помимо симметрии относительно преобразований координат реального трехмерного пространства для ряда задач уравнение Шредингера может обладать симметрией относительно преобразования переменных в некотором фиктивном n-мерном пространстве. В таких случаях говорят о скрытой или динамической симметрии. Хорошо изученным примером такой симметрии является открытая Фоком симметрия записанного в импульсном представлении уравнения Шредингера для атома водорода в четырехмерном пространстве динамических переменных.

Многие привычные понятия, используемые в квантовой химии, основаны на теоретико-групповых свойствах многоэлектронных систем. Так, принцип Паули связан с запретом для многоэлектронных систем всех неприводимых представлений группы перестановок электронов, кроме антисимметричного. Сохранение во времени различных величин, характеризующих состояние молекулы, таких, как спин, импульс и орбитальный момент изолированной молекулы, связано с тем, что эти величины характеризуют неприводимые представления групп, операции которых оставляют инвариантным гамильтониан системы.

Привлечение аппарата теории групп дает возможность качественно выяснить ряд свойств рассматриваемых систем, не прибегая к численным расчетам: например, определить степень вырождения и симметрию разрешенных состояний, вероятность квантовых переходов (правила отбора). В то же время теория групп существенно упрощает и количественный расчет, поскольку позволяет получить эффективные расчетные формулы для матричных элементов искомых физических величин.

5.13 Группы и классификация голограмм

В настоящее время известно большое количество различных разновидностей голограмм. При этом в основу классификации обычно кладутся определенные физические характеристики, признаки и свойства голограмм, регистрирующих сред и схем записи.

В частности, в зависимости от структуры поля, записываемого на голограмме, различают голограммы сфокусированного изображения, голограммы Френеля и Фраунгофера и различные виды голограмм Фурье.

Выбор схемы голографирования (относительное расположение предметного и опорного пучков) приводит к понятию осевой голограммы с наклонным опорным пучком и голограммы во встречных пучках. При определенном положении интерференционной картины, регистрируемой на голограмме, относительно светочувствительного материала в зависимости от соотношения между толщиной материала и шагом интерференционной картины можно говорить о плоских и объемных голограммах. Использование регистрирующих сред с амплитудной и фазовой модуляцией позволяет выделить, соответственно, амплитудные и фазовые голограммы.

В зависимости от множества точек, в которых осуществляется регистрация интерференционной картины, различают непрерывные и дискретные голограммы. Последние по способу регистрации делятся на физические и математические

Приведенный достаточно большой перечень различных типов голограмм показывает, что в настоящее время отсутствует единый подход к классификации голограмм, учитывающий математическую структуру голографической записи. Последнее, естественно, затрудняет прогнозирование новых типов голограмм и схем записи. В то же время процесс регистрации голографической информации обладает резко выраженным свойством симметрии, которое можно описать с помощью принципа взаимности . Иначе говоря, при определенных условиях предметная и опорная волны могут меняться местами.

С другой стороны, при записи голограммы регистрируется интерференционная картина, которая возникает при сложении двух (или нескольких) распределений комплексной амплитуды поля (предметной и опорной волны). Идея инвариантности суммарного поля, регистрируемого на голограмме, которая лежит в основе симметрия голографической записи, наиболее полно может быть описана в рамках теории групп. Применение теоретико-группового подхода в голографии интересно тем, что при этом физические идеи не упускаются из виду.

Теоретико-групповой формализм широко используется в современной физике. Основные понятия теории групп (одного из важных разделов "неколичественной" математики) проникли во многие разделы физики и нашли применение в таких ее областях, как например, квантовая механика и кристаллография.

При этом теория групп оказывается весьма полезной при систематизации широкого круга различных физических задач, связанных с теми или иными проявлениями симметрии (выделение кристаллографических сметем, классификация уровней энергии в квантовой механике и т.п.).

В рамках скалярной теории дифракции был проведен теоретико-групповой анализ математической структуры голографической записи. Идея инвариантности интерференционного поля, обусловленной симметрией процесса голографической регистрации, оказывается полезной при систематизации имеющихся разновидностей голограмм и прогнозировании новых типов голограмм. При этом все разновидности голограмм допускают единое рассмотрение с теоретико-групповых позиций.