5.17 Два примера приложения теории групп в природе

. В качестве первого уникального примера группы рассмотрим стандартный (типографский) лист бумаги. Он исходно изготовлен в таких размерах, что сложение вдвое длинной стороны не меняет отношения сторон (длинной к короткой). Введём некоторое уточнение. Чтобы правило сохранения отношения сторон сохранялось, оно всегда должно равняться , и такие листы мы назовём "одинарными листами Леонардо да Винчи" (он их изобрёл). Если операцию сложения вдвое повторить, то получим "двойные листы да Винчи", у которых отношение сторон при всех последующих операциях сложения будет равно 2. После этого операцию можно продолжать и в прямом, и в обратном направлениях, всё время получая новые члены группы, обладающие тем же свойством отношения сторон.

Судя по всему, подобными групповыми свойствами обладают так называемые карликовые галактики - спутники нашего Млечного Пути. Они были обнаружены лишь недавно (2008) группой астрономов под руководством Луиса Стригари. У всех карликовых галактик - спутников Млечного Пути - гравитирующая масса одинакова, потому что она получается из "энтропии листа да Винчи", которая определяется как логарифм статистического веса, равного отношению сторон (длинной к короткой).

. Вторым уникальным примером группы является так называемая крамерсовская электродинамика, изложенная на с. 47 в книге Эдмонда Бауэра "Теория групп и её приложения к квантовой механике". В книге поясняется, что в так называемом дипольном излучении электронов, при их рассеянии на кулоновском поле иона в плазме, излучается только один единственный фотон. Этот процесс первого порядка происходит с вероятностью, пропорциональной множителю α=е2/hc=1,137 (h - постоянная Планка). Процессом второго порядка будет квадрупольное излучение, при котором излучается (или поглощается) сразу два фотона. И этот процесс пропорционален множителю α2, и так далее. В целом, разложение потенциальной энергии электрона в поле иона в ряд по мультиполям соответствует разложению в ряд по числу фотонов, участвующих в процессе; такое соответствие в теории групп называется изоморфизмом представлений процесса. Если оборвать этот ряд (например, пренебречь квадрупольным и всеми более высокими членами разложения), то получим сугубо квантовую картину излучения, весьма далёкую от классической картины с участием сразу многих фотонов.

Алгебраический дифференциальный голограмма квантовый

Заключение

Итак, мы увидели, что теория групп имеет многочисленные применения в различных областях математики, физики, защиты информации, химии, биологии и других. Универсальность понятия группы позволило ему найти место везде, где требуется высокий уровень абстракции, свойства симметрии.

Теория групп оказала влияние на многие отдельные области математики. К примеру, её появление изменило теорию решений уравнений. Были найдены ответы на вековые вопросы с помощью этой теории. Проникнув в геометрию, теория групп способствовала тому, что геометрия стала более единообразной. Более того, как упоминалось, оказалось возможным переформулировать многие сложные геометрические задачи на язык теории групп и благодаря этому быстро их решить.

Теория групп принесла свои методы решения задач в некоторые математические дисциплины. Мы видели это хотя бы на примере алгебраической топологии и фундаментальных групп в ней. Можно здесь еще помимо алгебраической топологии упомянуть различные комбинаторные задачи, целочисленное программирование, математической моделирование.

Теория групп также оказала неоценимую помощь при решении задач классификации в различных областях прикладной математики, оказала влияние на развитие теории инвариантов.

Хотелось бы еще сказать, что появление теории групп способствовало появлению новых областей в математике. Например: алгебраическая теория чисел, теория колец, полей. Во многом благодаря теории групп, современная алгебра теперь такая, какой мы её знаем. Алгебра, старейшая отрасль математики, радикально перестроилась, стала теоретико-множественной и аксиоматической наукой.

И наконец, самое важное, что теория групп, как повлияла на математику в целом. Появление теории групп, теории Галуа дало толчок к полной реконструкции математики.

Взаимопроникновение математических дисциплин стало в наши дни глубоким и всеобщим.