6. Современная теория групп

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Каждый год проходят международные конференции, посвященные теории конечных и бесконечных групп. В частности, в России это направление развивается достаточно активно. Только в 2007г. у нас прошло несколько международных конференций по теории групп. Хорошо развитые школы, занимающиеся теорией групп, имеются в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске, Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России. Сотни специалистов высшей квалификации занимаются различными разделами теории групп. В России регулярно выходят журналы «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук», которых большую долю занимают статьи по теории групп. Российскими учеными написаны десятки монографий по конечным и бесконечным группам. Достижения российских специалистов по теории групп давно и заслуженно признаны во всем мире.

Скажем несколько слов о направлениях теории групп наиболее развитых и активно используемых к настоящему моменту.

Структурная теория групп в настоящее время представляет одну из самых развитых областей алгебры и математики в целом.

Теория конечных групп - старейшая и, в то же время, наиболее активно развивающаяся ветвь теории групп. Одним из крупнейших результатов явилось завершение классификации конечных простых групп, включающей серии групп алгебраического типа, знакопеременные группы An при n³5 и 26 спорадических простых групп (среди которых наибольшая группа Большой Монстр имеет порядок

246×320×59×76×112×132×17×19×23×29×31×41×47×59×71)

Исключительная роль конечных простых групп объясняется тем, что из них может быть построена любая конечная группа. Обстоятельно исследованы конечные разрешимые группы по свойствам различных систем подгрупп (силовских, холловских, картеровских и др.) Отметим теорему У. Фейта (W.Feit) и Дж.Томпсона (J. Thompson) 1963, о том, что все конечные группы нечетного порядка разрешимы. Теория групп подстановок и теория линейных групп над конечными полями образуют крупные развитые направления теории конечных групп.

Абелевы группы - также очень сильная развитая область к настоящему моменту. Теорема Г.Фробениуса и Л. Штикельбергера (L.Stickelberg), 1878, о том, что конечная абелева группа является прямой суммой примарных циклических групп, и ее обобщение (теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп) нашли широкое применение в математике и ее приложениях. Наиболее изучены: полные (делимые) абелевы группы; свободные абелевы группы и абелевы группы без кручения; периодические абелевы группы (в частности, их сервантные и примарные подгруппы). Развитые гомологические методы теории расширений абелевых групп позволяют в ряде случаев сводить рассмотрение общего случая к этим классам групп. Существенную роль играют функторы Hom и Ä на категории абелевых групп, изучение колец эндоморфизмов End (G) и групп автоморфизмов Aut(G) абелевых групп G.

Также хорошо развита теория нильпотентных и разрешимых групп, содержащих все абелевы группы, а также многочисленных их обобщений: локально нильпотентных групп; локально разрешимых групп; групп с нормализаторным условием; групп с субнормальными системами подгрупп различного типа.

Современная теория представлений групп и теория характеров представляет сложившуюся область, обогащенную методами теории колец и гомологической алгебры с мощным арсеналом технических средств для изучения абстрактных групп.

Теория гомологий групп занимает достойное место в современной гомологической алгебре как наиболее развитый отдел.

Как мы уже увидели, в настоящий момент теория групп является очень разветвленной областью знаний. Есть много нерешенных задач и много перспективных направлений исследований.

Сейчас, например, многими теоретико-групповиками активно изучаются производные структуры, связанные с группой G, например: группа автоморфизмов Aut(G); решетка подгрупп L(G); полугруппа эндоморфизмов End(G). Исследуются: радикалы групп, радикальные и полупростые классы; формации групп; формальные группы

Продолжается активное изучение групп с дополнительными структурами, согласованными с групповой операцией, среди них: топологические группы и группы Ли; алгебраические группы; упорядоченные группы.

Одним из наиболее перспективных и интересных направлений является изучение групп с заданными свойствами системы подгрупп. Начало таким исследованиям было положено работами У. Бернсайда, Р. Дедекинда, Г. Миллера и Г. Морено, О.Ю. Шмидта и др. Появившись сначала в области конечных групп, это направление распространилось затем на бесконечные группы и дало при этом многие новые подходы к их изучению, а также важные понятия теории групп.

В этом направлении среди наиболее значительных объектов исследований были выделены классы локально конечных групп, периодических групп, локально разрешимых и локально нильпотентных групп, локально ступенчатых групп, классы групп Куроша-Черникова. В этом направлении работали многие авторы: С.И. Адян, Р. Бэр, Б.А. Вэрфриц, X. Виланд, Дж. Вильсон, Ю.М. Горчаков, В.М. Глушков, Д. Горенстейн, Р.И. Григорчук, Д.И. Зайцев, М.И. Каргополов, О. Кегель, А.И. Кострикин, Л.Г. Курош, Л.А. Курдаченко, А.И. Мальцев, Ю.И. Мерзляков, А.Ю. Ольшанский, П.С. Новиков, Б.И. Плоткин, Д.Ю. Робинсон, А.В. Рожков, А.И. Созутов, Д. Томпсон, В. Фейт, Г. Хайнекен, Б. Хартли, Ф. Холл, B.C. Чарин, Н.С. Черников, Н. Черников, А. Чунихин, Л.А. Шеметков, В.П. Шунков и др.

Ясно, что для рассмотрения строения определенного вида групп с заданными свойствами подгрупп, необходимы существенные ограничения для подгрупп. Большое значение здесь имеет проблема исследования групп, обладающих в том или ином смысле широкой системой дополняемых подгрупп.

Здесь напомним, что подгруппа А группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует такая подгруппа В, что G=AB и А∩В=1. При этом В называется дополнением к А в G.

Понятно, что на строение группы и ее свойства существенно влияют условия дополняемости, налагаемые на подгруппы из той или иной системы подгрупп. Так, в 1937 году Ф. Холлом была показана разрешимость конечной группы, в которой дополняемы все силовские примарные подгруппы. В связи с этим возникла потребность изучения конечных групп, в которых дополняемы все подгруппы. В этом направлении Ф. Холлом получен следующий критерий:

В конечной группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G является сверхразрешимой группой с элементарными абелевыми примарными подгруппами.

Первоначальному исследованию свойств произвольных групп с системой дополняемых подгрупп, удовлетворяющей тем или иным условиям, посвящены работы Н. В. Черниковой. Ею было получено полное конструктивное описание вполне факторизуемых групп, то есть групп, в которых дополняемы все подгруппы. Из теоремы Н.В.Черниковой следует, что в группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G=[A]B, где А разлагается в прямое произведение нормальных в G подгрупп простых порядков или А=1, а В разлагается в прямое произведение подгрупп простых порядков или В=1. Общая задача изучения групп с некоторой заданной системой дополняемых подгрупп была сформулирована Н. Черниковым. В его работах изучались группы с дополняемыми абелевыми (неабелевыми, элементарными абелевыми) подгруппами, нормальными (неинвариантными), бесконечными (бесконечными абелевыми, бесконечными неабелевыми), примарными (непримарными, нормальными непримарными) подгруппами. Впоследствии в этом направлении работали и получили многие важные результаты Ю.М. Горчаков, М.И. Каргаполов, Д.И. Зайцев, B.C. Чарин и др. (школа Н. Черникова), Н.С. Черников, Н.М. Сучков и др. (школа В.П. Шункова), К. Кристенсеном. А.С. Кондратьевым, Л.С. Казариным, В.А. Ведерниковым, B.C. Монаховым, М. Курцио, О. Бечтеллом и др.

В 70-х гг. было введено понятие сепарирующей подгруппы, и в связи с этим появился новый подход к обобщению вполне факторизуемых групп. В этом направлении были получены результаты в работах Н.С. Черникова, А. Довженко, Д. Кеппига, B.C. Чарина, А.В. Спиваковского, В.А. Крекнина и др. Одним из наиболее естественных ослаблений условия дополняемости всех подгрупп в группе является условие дополняемости подгрупп, не содержащихся в ее подгруппе Фраттини - нефраттиниевых подгрупп. Такие группы с дополняемыми нефрахтиниевыми подгруппами были полностью описаны А. Довженко в работах. Исследование групп с дальнейшими ослаблениями условия дополняемости подгрупп является актуальной и перспективной задачей. Так, нужно рассмотреть группы, в которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(0) и центра Z(G) группы G. Такое ослабление условия дополняемости приводит к существенному расширению класса рассматриваемых групп, в частности, этот класс содержит все абелевы группы.

Еще одно довольно активно развиваемое в настоящее время направление - это теория линейных групп над кольцами. По этой тематике имеется большое количество статей монографий. Помимо исследований для колец наиболее общей природы, часто возникает задача изучения линейных групп и над отдельно взятыми кольцами.

Также, в последний двадцать пять лет активно развивается теория квантовых групп (некоммутативных деформаций групп) . Общий метод построения квантовых групп, заключающийся в некоммутативной деформации алгебры функций на группе и наделении ее структурой некоммутативной алгебры Хопфа, детально разработан для всех серий простых групп . Он связан с существованием универсальных R-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера), определяющих коммутационные соотношения образующих алгебры Хопфа. Для неполупростых групп такого общего метода не существует. В работах Громова Н.А. и его учеников с помощью метода перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матричных групп над алгеброй Dm, построены некоторые некоммутативные деформации групп Кэли-Клейна [а также некоторые некоммутативные деформации других видов неполупростых групп

В последнее время активно развивается также такая область математики, как суперматематика. Укажем здесь на работы Березииа Ф.А., Лейтеса Д.А. , Каца В.Г.. Наряду с коммутирующими переменными здесь рассматриваются и антикоммутирующие, а значит нильпотентные индекса 2 переменные. Одним из важных примеров супералгебр является алгебра Грассмана. Во многих физических приложениях преобразования суперпространств реализуются в виде матриц над алгеброй Грассмана. В работе [2] рассмотрены некоторые свойства алгебры Грассмана, проведена классификация ее автоморфизмов, дано определение линейных групп над алгеброй Грассмана (супераиалогов классических групп), указано на некоторые их свойства и физические приложения. Нетрудно показать, что алгебра Dm является подалгеброй алгебры Грассмана. В силу этого в суперматематике также естественным образом возникают различные алгебраические структуры над алгеброй Dm, в частности, некоторые группы преобразований суперпространств можно реализовать в виде линейных групп над алгеброй Dm.

Если линейная группа над полем действует на векторном пространстве над этим полем, то линейная группа над кольцом R является группой автоморфизмов некоторого свободного Л-модуля. Поэтому одновременно с исследованием линейных групп над алгеброй Dm естественно возникает задача исследования 1}т-модулей.

В алгебре Dm есть делители нуля, нильпотентные элементы различных индексов, и это обстоятельство относит ее к числу объектов, для которых нет полной, хорошо разработанной теории, как скажем, для полупростых алгебр. В монографии Ж.-П. Серра алгебра D2 используется для определения некоторых алгебр Ли. В монографии Шафаревича И.Р. [40] алгебра D2 используется для описания касательного пространства в точке схемы. Зайнуллиным К.В. в рассмотрены центральные расширения специальной линейной группы бесконечных матриц над алгеброй Dm.

В частном случае т = 1 мы приходим к алгебре дуальных чисел, которые были введены Клиффордом У.К. во второй половине 19-го века . Данные числа и алгебраические структуры над ними нашли применение в различных областях математики и теоретической физики. Так Котельников А.П. и Штуди Э. применяли их для построения теории винтов . Розен-фельд Б.А. и Яглом И.М. использовали их для описания неевклидовых пространств и движений в них. Дуальные числа могут быть использованы для описания структур, рассматриваемых с точностью до бесконечно малых второго порядка, на алгебраическом языке . Многообразия над алгебрами, в частности над алгеброй дуальных чисел, активно изучаются представителями казанской геометрической школы . Механику с дуальными координатами рассматривал Дуплий С.А. [15]. Определяющие соотношения классических групп над кольцом дуальных чисел рассмотрел Сатаров Ж.С. Тем не менее, нельзя сказать, что дуальные числа широко известны.

В силу вышесказанного, алгебра Dm, а также модули и линейные группы над ней представляют собой актуальные для изучения объекты, как с чисто алгебраической точки зрения, так и с точки зрения применения их в других разделах математики и теоретической физики.

По-видимому, Р.И. Пименов был первым, кто в своих работах ввел набор из нескольких взаимно коммутирующих нильпотентных именованных координат, тем самым косвенно выделив алгебру Dm и указав на ее применение в геометрии. Учитывая это, а также из соображений удобства, в дальнейшем алгебру Dm будем называть алгеброй Пименова.

Напоследок упомянем еще одну область теории групп, активно развиваемую сейчас. Речь идет о вычислительной теории групп.

Вычислительная теория групп - область науки на стыке математики и информатики, изучающая группы с помощью вычислительных машин. Она связана с проектированием, анализом алгоритмов и структур данных для вычисления различных характеристик (чаще всего - конечных) групп. Область интересна исследованием важных с различных точек зрения групп, данные о которых невозможно получить вычислениями вручную.

Основные направления исследований в этой области связаны с алгоритмами для:

 конечно заданных групп,

 полициклических и конечных разрешимых групп,

 групп перестановок,

 матричных групп,

 теории представлений.

Важные алгоритмы в вычислительной теории групп включают:

 алгоритм Шрайера-Симса для нахождения порядка группы перестановок,

 алгоритм Тодда-Коксетера и алгоритм Кну́та-Бендикса для перечисления классов смежности,

 алгоритм перемножения-замены для нахождения случайного элемента группы.

Реализации алгоритмов вычислительной теории групп доступны, в частности, в двух известных системах компьютерной алгебры, GAP и MAGMA. (о GAP мы расскажем позднее)

Некоторые достижения, непосредственно связанные с вычислительной теорией групп:

 полное перечисление всех конечных групп порядка меньше 2000,

 вычисление представлений всех спорадических групп.