Тема 7. Послідовні випробування. Формула Бернуллі.

Теоретичні відомості

Формула Бернуллі

Будемо розглядати послідовність незалежних однотипних випробувань, в результаті кожного з яких наступає або успіх, або невдача, ймовірності яких відомі ( p-ймовірність успіху, q=1 - p –невдачі). Наприклад, якщо кинути кілька монет, то кожна з них впаде одним із двох можливих боків (“герб“ чи “цифра”). Один із них називають успіх, інший – невдача. Такі послідовності мають назву – випробування за схемою Бернуллі.

Встановимо ймовірність того, що при проведенні n-випробувань, успіх наступить m разів і, відповідно, n-m разів настане невдача. При знаходженні ймовірності, треба врахувати порядок настання успіхів і невдач. Для кожного з варіантів будем мати: . Кількість варіантів . За правилом суми, оскільки варіанти несумісні, маємо:

.

Цю формулу називають формулою Бернуллі або біноміальним розподілом.

Приклад 1. З урни, в якій містяться 5 білих та 10 чорних куль навмання виймають 3 кулі з поверненням і підраховують кількість білих куль. Яка подія найбільш ймовірна?

Розв΄язання: Ймовірність появи білої кулі- .

За формулою Бернуллі

; ;

; .

Найбільш ймовірна подія: “Серед вибраних куль – одна біла”.

Приклад 2. Із партії, в якій 12 стандартних і 4 нестандартні деталі, навмання беруться 3 деталі з поверненням. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей:

1) усі три стандартні;

2) не більше як одна нестандартна;

3) принаймні одна нестандартна.

Розв’язання. Маємо схему трьох незалежних випробувань. Нехай подія А – «узята щоразу деталь стандартна», тоді Імовірності обчислюватимемо за формулою Бернуллі:

1. 

2. Подію «із трьох деталей не більш як одна нестандартна» можна розглядати так: узято 3 стандартні деталі або 2 стандартні і одну нестандартну деталь. У позначеннях формули Бернуллі

3. Протилежною для даної буде подія «усі три деталі стандартні». Їй рівносильна подія Обчислимо цю ймовірність:

Найімовірніша кількість. Частота настання події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішою кількістю (появи цієї події), якщо їй відповідає найбільша ймовірність. Вона визначається за формулою:

np-q≤ m₀ ≤np+q

Розподіл може мати одне або два найімовірніші числа.

Приклад 3. Частка довгих волокон у партії бавовни становить у середньому 0,6 загальної кількості волокон. Скільки потрібно взяти волокон, щоб найімовірніше число довгих волокон серед них дорівнювало 40?

Розв’язання. Скористаємося формулою, за якою визначається найімовірніше число: Підставимо сюди значення відомих величин:

Задача має два розв’язки: n = 66 i n = 67.

Задачі 278.7-311.7

101. Гральну кістку випадковим чином підкинули 5 разів. Знайти ймовірність того, що двічі на верхній грані з’явиться число, кратне трьом.

101. Знайти ймовірність руйнування об’єкту при стрільбі із гармати, якщо для цього необхідно не менше трьох влучень, а зроблено п’ять пострілів, кожний з ймовірністю, рівною 0,4.

101. На автобазі є 12 автобусів. Ймовірність виходу на лінію кожного з них дорівнює 0,8. Знайти ймовірність нормальної роботи автобусного маршруту, якщо для цього необхідно мати на лінії не менше восьми автобусів.

101. Що ймовірніше: виграти у рівносильного шахіста 2 партії з чотирьох або 3 партії з шести? Нічия не враховується.

101. Два стрільці, які мають ймовірність влучення в ціль 0,5 і 0,8, роблять 6 подвійних пострілів. Знайти ймовірність того, що не менше трьох разів обидва стрільці влучать в ціль.

101. Два баскетболісти роблять по три кидки в кошик з ймовірністю влучення 0,6 і 0,7 відповідно. Знайти ймовірність того, що: а) у них буде однакове число влучень, б) у першого баскетболіста буде більше влучень, ніж у другого.

101. Двi гральні кістки випадковим чином підкинули 7 разів. Знайти ймовірність того, що точно три рази з’явиться сума очків, що виражається простим числом.

101. Зроблено 14 пострілів, кожний з ймовірністю 0,2. Знайти наймовiрнiше число влучень і відповідну ймовірність.

101. Баскетболiст влучає в кошик з ймовірністю 0,4. Знайти наймовiрнiше число влучень при 10 кидках.

101. З урни, що містить 6 білих і 4 чорні кулі, вибирають навмання одну кулю і повертають її в урну. Дослід повторюється 9 разів. Знайти наймовiрнiше число появ білої кулі в цих дослідах і відповідну ймовірність.

101. Скiльки потрібно провести випробувань з ймовірністю появи події в кожному з них рівною 0,4, щоб наймовiрнiше число появ події було рівним

101. Скiльки можна провести випробувань з ймовірністю появи події, рівною 0,3, щоб наймовiрнiше число появ події було рiвним 30.

101. Чому дорівнює ймовірність появи події в кожному з 49 незалежних випробувань, якщо наймовiрнiше число появи події в цих випробуваннях рівне 30?

101. Чому дорівнює ймовірність появи події в кожному з 39 незалежних випробувань, якщо наймовiрнiше число появи події в цих випробуваннях рівне 25?

101. Кругла мішень розбита на 10 областей. Стрілець влучає в “десятку” з ймовірністю 0,4, а в “дев’ятку” – з ймовірністю 0,6. Знайти наймовiрнiше число очків, яке отримає стрілець при трьох пострілах. Знайти ймовірність набрати при трьох пострілах не менше 29 очків.

101. Контрольне завдання для учнів містить 10 питань, на які учень повинен дати відповідь “так” чи “ні”. Учень знає відповіді на 4 питання, а на інші дає відповідь навмання. Знайти: а) наймовiрнiше число правильних відповідей; б) ймовiрнiсть того, що учень відповість правильно на всі питання; в) ймовiрнiсть того, що учень відповість правильно не менше, ніж на 5 питань.

101. Пару гральних кісток підкинули 8 разів. Знайти наймовiрнiше число появ суми очків на верхніх гранях.

101. Імовірність того, що витрати електроенергії на механічному заводі не перевищують 10 000 кВт∙год в один робочий день, дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що серед шести робочих днів тижня виявиться m днів (m=0, …,6). Скласти таблицю.

101. Гральний кубик підкидають шість разів. Знайти ймовірність того, що шістка випаде m разів (m=0, …,6). Скласти таблицю.

101. Імовірність виготовлення стандартної деталі на автоматичному станку дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що з п’яти навмання взятих деталей три виявляться стандартними?

101. Із урни, в якій лежать 5 білих і 3 чорних кульки, послідовно виймають сім кульок. Перед кожним наступним випробуванням кульку повертають назад до урни. Визначити ймовірність того, що серед вийнятих кульок буде:

1. 4 білих; 2) 4 чорних?

101. Два рівносильні шахісти грають у шахи. Нехай P₁  імовірність того, що один з них виграє три партії з чотирьох; P₂  імовірність того, що один з них виграє п’ять партій із восьми. Що більше: P₁ чи P₂ ?

101. Нитка на ткацькому верстаті обривається в середньому 0,375 раз за годину. Знайти ймовірність того, що за зміну (вісім годин) буде не менше двох і не більше чотирьох обривiв

101. На кожні 30 штампованих виробів у середньому припадає 6 виробів з дефектом. Знайти ймовірність того, що з 5 навмання взятих виробів 3 виявляться без дефекту.

101. Імовірність виграшу облігації за весь період позики становить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події:

1. виграють дві облігації;

2. виграш випаде принаймні на одну облігацію;

3. виграють не більш як дві облігації.

101. Для забезпечення роботи на деякому будівельному об’єкті автопідприємство має 6 автомобілів. Імовірність виходу кожного автомобіля на лінію у першу зміну дорівнює 0,8. Знайти ймовірність нормальної роботи автопідприємства, якщо для цього у першу зміну потрібно мати на лінії не менш як 4 автомобілі.

101. Із n акумуляторів за один рік зберігання k виходить з ладу. Навмання обирають m акумуляторів (m < n ). Визначити ймовірність того, що серед них l є справними при n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.

101. Ймовірність хоча б одного влучення у ціль під час чотирьох пострілів дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність влучення у ціль під час одного пострілу.

101. 30% виробів підприємства – продукт вищого сорту. Знайти імовірність того, що з шести виробів цього підприємства чотири вищого сорту.

101. Незалежно один від одного працюють 6 приладів. Ймовірність відмови одного приладу дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що буде 5 відмовлень.

102. Робітник виготовив 10 виробів. Ймовірність виготовлення виробу першого ґатунку 0,8. Яка ймовірність того, що буде виготовлено 3 вироби першого ґатунку?

101. По цілі проводиться 5 незалежних пострілів. Імовірність попадання при одному пострілі дорівнює 0,2. Для знищення цілі достатньо трьох влучень. Знайти імовірність знищення цілі.

101. Ймовірність того, буде зелений, рівна 0,2. Куплено 5 кавунів. Знайти ймовірність того, що два кавуни зелені.

101. Імовірність того, що лампочка перегорить протягом місяця р=0,1. Знайти імовірність того, що з 5 лампочок перегорить три.