Правило трьох сигм для нормального закону

Коли , то маємо:

.

Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси:

Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має закон розподілу N(a; ), не потрапить у проміжок , дорівнює 0,0027. Це становить 0,27%, тобто практично вважається, що ця подія внаслідок прове­дення одного експерименту не здійсниться.

Приклад 6. Відомо, що випадкова величина Х має закон розподілу N(– 4; 2).

Записати вирази для f(x), F(x) і накреслити їх графіки. Обчислити

Р(–6 < x < 3), P( < 4).

Розв’язання.

Графіки f(x), F(x) наведені на рис. 9 і 10.

Рис. 9 Рис. 10

Використовуючи формули (261), (262), обчислюємо ймовірності:

1)

2)

Приклад 7. Відомо, що діаметр кульки підшипника D є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу. Бракування кульок здійснюється за таким алгоритмом: якщо кулька не проходить через отвір із діаметром 5,5 мм, але проходить через отвір із діаметром 5,58 мм, то її розмір відповідає стандарту. Якщо будь-яка із наведених умов не виконується, то кулька бракується. Визначити _d, якщо брак становить 10%.

Розв’язання. Середній діаметр кульки

m_d = мм.

Якщо позначимо d₁ = 5,5мм, d₂ = 5,58 мм, то ймовірність того, що кулька буде забракована, визначається як:

.

Оскільки – математичне сподівання, то виконуються рівності:

Далі маємо:

мм.

Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має гіпергеометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою

.

Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей відбувається за таких обставин: нехай задано деяку множину однотипних елементів, число яких дорівнює n; з них елементів мають, наприклад, ознаку А (колір, стандартність), а решта елементів – ознаку В; коли із цієї множини навмання беруть m елементів, число елементів k з ознакою А (або В), що трапляється серед m навмання взятих елементів, буде цілочисловою випадковою величиною з гіпергеометричним законом розподілу.

У табличній формі запису цей закон розподілу подається так:

	0	1	2	...	m
				…

При цьому m  n.

Умова нормування .

Залежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2, 3, ..., m – 1.

Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними далі формулами:

1. .

2.

3. .

Приклад 8. В ящику міститься 10 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта є бракованими. Навмання із ящика беруть m деталей. Побудувати закони розподілу цілочислової випадкової величини Х – появу числа стандартних деталей серед m навмання взятих і обчислити М (Х), D (X),  (Х), якщо: 1) m = 3; 2) m = 4; 3) m=5; 4) m=7.

Розв’язання. Використовуючи формулу (253) побудуємо гіпергеометричні закони розподілу:

1. m = 3; = 7; = 3; k = 0, 1, 2, 3.

У табличній формі гіпергеометричний закон подається так:

	0	1	2	3

або

k	0	1	2	3

.

1. ;

2. 

;

3. .

2. m = 4; = 7; = 3; k = 1, 2, 3, 4.

У табличній формі закон розподілу подається так:

	1	2	3	4

або

k	1	2	3	4

.

1. 

;

2. 

;

3. .

3. m = 5; n₁ = 7; n = 3; k = 2, 3, 4, 5.

У табличній формі закон подається так:

	2	3	4	5

або

k	2	3	4	5

1) 

;

2) 

;

.

3)  .

4. m = 7; = 7; = 3; k = 4, 5, 6, 7.

У табличній формі закон подається так:

	4	5	6	7

або

k	4	5	6	7

.

1. ;

2. ;

3. .