Тема 3. Простір елементарних подій. Події та операції над ними. Теоретичні відомості

Множину всіх можливих результатів експерименту або простір результатів експерименту позначаємо через Ω. Цей простір – скінчений.

Нехай – елемент такого простору елементарних подій:

Означення. Елементарною подією називають неподільний результат експерименту (подія, що може відбуватися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби).

Повна група подій. Якшо , то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій обов’язково настане.

Приклад. Підкидання грального кубика дає простір вигляду .

Приклад. Підкидання двох монет:

= герб, цифра

=цифра, герб

= герб, герб

= цифра, цифра

(гц,цг,гг,цц)

Приклад . При одному пострілі в мішень .

Операції над подіями:

Додавання. Сумою двох подій А і В називається така подія С= А В (С=А+В), яка внаслідок експерименту настає з наставанням принаймі однієї з подій А або В. Подія А В називається об´єднанням цих подій.

На рисунку 1 подію а в схематично зображено заштрихованою областю.

А

В

Ω

Рис.1

Множення. Добутком двох подій А і В називається така подія С = А В (С=АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням події А і В. Операція А В називається перерізом ціх подій (рис. 2).

Рис.2

Віднімання. Різницею двох подій А і В називається така подія С = А\В (С=А-В), яка внаслідок експерименту настає з настанням події А і одночасним

Ненастанням події в (рис. 3).

Рис. 3

Сумісні та несумісні події.

Якщо А В≠ Ø, то випадкові події А та В називають сумісними.

Якщо А В= Ø, то випадкові події А та В називають несумісними.

П ротилежні події. Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називаються протилежними. Подія, яка протилежна А, позначається . Справедливе співвідношення: (рис. 4).

Рис.4

Приклад 1. Задано множину цілих чисел {-4,-3-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15}. Навмання з неї беруть одне число. Побудувати випадкові події : А={ узяте число х менше або рівне 10 ( )}; В={ Узяте число більше 0 та менше або рівне 12 ( )}. Визначити А В; А В; А\В.

Розв’язання. А={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; В={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};

А В={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}; А В={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

А\В={-4,-3,-2,0}.

Випадкові події А,В,С ( ), для яких визначено операції додавання, множення та віднімання, підлягають таким законам:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Випадкові елементарні події задовольняють таким твердженням: 1) між собою несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими.

Задачі 73.3-86.3

73. Одночасно кидають три монети. Скласти два простори елементарних подій, які відповідають даному експерименту.

74. Одночасно кидають два гральних кубика. Скласти не менше двох просторів елементарних подій, які відповідають даному експерименту.

75. З 5 різних книжок А, Б, В, Г, Д навмання вибирають 3 книги. Скласти простір елементарних подій, які відповідають даному експерименту. Виписати підмножини цього простіру , які відповідають вибору трьох книг які: а) містять книгу А; б) не містять книгу Б; в) містять книги А та Б.

76. Навмання вибираються дві літери з числа літер, які утворюють слово “КОД”. Розглянемо множини: а) КД, ДК, ОД, ДО, КО, ОМ ; КД, КО, ОД ; КОД, ДОК, ОДК, ДКО, КДО, ОКД ; ДК, ОД, ДО, КО, ОК ;

КД, КО, ОД ; КД, ДК, ОД, ДО, КО, ОК ; КД, КО, Д .

Які з цих множин являються просторами елементарних подій, які відповідають даному експерименту ?

77. Парадокс де Мере. Дивлячись на гру в кубики, де Мере помітив, що при одночасному киданні трьох гральних кубиків сума зерен, яка дорівнює 11 випадає частіше, ніж сума зерен, яка рівна 12. Однак, він побачив протиріччя в тому, що числа 11 та 12 можна одержати однаковою кількістю способів: 11 – (146), (155), (236), (245), (335), (344), для числа 12 – (156), (255), (246), (336), (345), (444). Описати простори елементарних подій, які відповідають даному експерименту та пояснити даний парадокс. Виписати події, які відповідають появі сумі зерен 11 та сумі зерен 12.

78. Навмання вибирається одна літера з числа літер, які утворюють слово “ФОРМУЛА”. Скласти простір елементарних подій, які відповідають даному експерименту.

79. Три стрільця роблять по одному пострілу в мішень. Подія А – влучання першого стрільця, В – влучання другого стрільця, С - влучання третього стрільця. Записати символічно такі події: а) всі три стрільця влучили в мішень; б) точно один стрілець влучив в мішень; в) два стрільці влучили в мішень, а один схибив; г) хоч би один стрілець влучив в мішень.

80. Простір елементарних подій, який відповідає киданню грального кубика, складається з шести наслідків, які позначаються цифрами 1,2,3,4,5 та 6. Записати множини А та В, які відповідають таким подіям: А – на верхній грані з’явилась парна кількість зерен; В – на верхній грані з’явилось число, яке менше чотирьох, а також події А+В, АВ, , , , В.

81. Простір елементарних подій, який відповідає киданню грального кубик, складається з шести наслідків, які позначаються цифрами 1,2,3,4,5 та 6. Подія: А – на верхній грані з’явилась парна кількість зерен; В – на верхній грані з’явилось число, яке менше чотирьох. Представити суму подій А+В в вигляді суми двох несумісних подій.

82. Для довільних подій довести рівність:

а) ;

б) .

83. Довести другий дистрибутивний закон для подій А, В, С:

АВ+С=(А+С)(В+С).

84. Події А та В – дві довільні події. Довести рівності:

а) (А+В)(А+ )+( +В)( + )=

б) (А+В)(А+ )( +В)( + )= Ø

в) АВ+А + В+ + = .

85. Події А та В – довільні події. Довести, що події А, В та

утворюють повну групу подій.

86. Скільки елементів має простір елементарних подій:

1) експеримент – підкидають монету десять разів;

2) експеримент – підкидають гральний кубик шість разів;

3) експеримент – два постріли в мішень;

4) експеримент – на кожній з чотирьох карток пишуть одну з цифр:

1, 2, 3, 4, 5;

5) експеримент – вибір обіду з трьох справ, коли в меню пропонують 5 перших, 6 других і 3 треті страви;

6) експеримент – вибір одного числа із множини всіх п’ятицифрових чисел?