Математичне сподівання квадрата відхилення значень випадкової величини від її математичного сподівання називається дисперсією.
.
Дисперсію можна знайти ще за такою формулою:
,
тобто як різницю між математичним
сподіванням квадрата випадкової величини
і квадратом математичного сподівання.
Середньоквадратичне відхілення.
.
Приклад 1.
В лотереї
8 білетів, серед них 3 виграшні. Взяли 4
білети. Знайти математичне сподівання,
дисперсію, середньоквадратичне відхилення
випадкової величини
-кількості
виграшних білетів серед відібраних.
Розв’язання.
Для знаходження ймовірності скористаємося формулою:
,
де
взяли
взяли
Випадкова величина може приймати значення 0,1,2,3.
.
,
,
,
.
Закон розподілу:
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Математичне сподівання:
.
Дисперсія:
.
Середньоквадратичне відхілення.
.
Математичне сподівання неперервної випадкової величини визначається виразом:
.
Дисперсія неперервної випадкової величини визначається виразом:
або
.
Середньоквадратичне
відхилення.
.
Приклад 2. Знайти математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення неперервної випадкової величини, яка задана інтегральною функцією розподілу:
Розв’язання:
Математичне сподівання:
Дисперсія:
.
Середньоквадратичне відхилення.
Задачі 353.10-394.10
Кожного дня студентами, що працювали на дослідному полі було зібрано по 39, 41, 42 , 41, 40, 44, 41, 42, 40, 41, 42, 43, 39, 40, 40, 40, 41, 42, 40, 41, 43, 41, 41, 39, 40 ящиків яблук. Отримані дані записати у вигляді таблиці та знайти числові характеристики даного розподілу.
Скласти таблицю розподілу випадкової величини X , як числа хлопчиків у сім’ї, де є троє дітей. Обчислити параметри розподілу.
Скласти закон розподілу випадкової величини X як числа спроб здати іспит (трьох студентів), якщо студент підготував 60 % матеріалу. Обчислити параметри розподілу.
Продається 10 пар шкарпеток, з яких 4 мають приховані дефекти. Скласти закон розподілу випадкової величини X як числа куплених годних шкарпеток, якщо куплено 3 пари шкарпеток. Обчислити параметри розподілу.
Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини по даному закону розподілу:
Скласти закон розподілу випадкової величини
,
якщо випадкова величина
задана матрицею:
Перевірити виконання
рівності
.
Закон розподілу випадкової величини х задано матрицею:
Перевірити
рівність
.
Право на постріл в тирі коштує 50 копійок, а ймовірність влучення в мішень при одному пострілі рівна 0,8. Знайти математичне сподівання виграшу при двох пострілах, якщо за кожне влучення видається приз в 60 коп.
Право на постріл в тирі коштує 50 копійок. Ймовірність влучення в мішені №1 і №2 рівні відповідно 0,4 і 0,2, а призи за влучення в ці мішені – 1 гривня і 2 гривнi. Знайти математичне сподівання виграшу, якщо стрілець робить по одному пострілу в кожну мішень.
Право на постріл в тирі коштує 20 копійок. Ймовірність влучення в мішені №1 і №2 рівні відповідно 0,6 і 0,4, а призи у разі влучення – 30коп. і 40 коп. Стрілець придбав два квитки, що дає йому право зробити два постріли. Що вигідніше: стріляти в першу мішень; в другу мішень; в різні мішені?
З урни, в якій знаходиться 8 білих і 2 чорні кулі, переклали 3 кулі в іншу урну, що містить 5 білих і 4 чорні кулі. Скласти закон розподілу числа білих куль в другій урні після перекладання трьох куль, обчислити математичне сподівання і дисперсію цієї величини.
Випадковим чином підкинули дві гральні кістки. Позначимо через х і у число очків, що з’явилися на першій і другій гральній кістці відповідно. Обчислити математичне сподівання випадкових величин
і
.
Знайти математичне сподівання і дисперсію числа випадкових кидань гральної кістки до першої появи “шістки”, якщо число кидань не більше п’яти.
Написати закон розподілу числа кидань монети до першої появи герба. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини.
Знайти математичне сподівання і дисперсію числа випадкових кидань гральної кістки до першої появи “двійки”.
Знайти математичне сподівання і дисперсію числа випадкових кидань двох гральних кісток до першої появи суми очків, рівної дев'яти.
Монету кидають до тих пір, доки двічі поспіль не випаде герб. Знайти математичне сподівання і дисперсію числа необхідних для цього кидань, якщо воно не більше шести.
Написати закон розподілу числа влучень в ціль при трьох пострілах, якщо ймовірність влучення при одному пострілі рівна 0,8. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини.
Студент повинен скласти в сесію чотири іспити. Ймовірність скласти кожний з них рівна 0,6. Знайти закон розподілу числа складених іспитів, обчислити математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини.
З шести іспитів студент склав три, а ймовірність скласти кожний з іспитів, що залишилися, рівна 0,8. Записати закон розподілу числа іспитів, складених студентом у цю сесію, обчислити математичне сподівання і дисперсію числа складених іспитів.
З трьох урн, що містять по 6 білих і 2 чорні кулі, вибирають навмання по одній кулі і кладуть їх назад. Цей експеримент повторюється 512 разів. Обчислити математичне сподівання і дисперсію числа появ такої події: “хоча б одна з трьох вибраних куль в кожному експерименті – біла”.
Кожна з трьох гармат має ймовірність влучення, рівну 0,25. Батарея робить п’ять залпів по п’яти мішенях, Знайти закон розподілу числа збитих мішеней і обчислити математичне сподівання і дисперсію цієї величини, якщо для того, щоб збити мішень, необхідно, щоб в неї влучило: а) три снаряда, б) хоча б один снаряд.
Випадкова величина задана законом розподілу:
.
Знайти функцію
розподілу
і побудувати її графік.
Випадкова величина задана законом розподілу:
Знайти функцію розподілу і побудувати її графік.
Знайти функцію розподілу числа появи герба при трьох випадкових киданнях монети і побудувати її графік.
Монету випадковим чином підкидають до першої появи герба. Знайти функцію розподілу числа кидань монети і побудувати її графік.
Монету випадковим чином підкидають до тих пір, поки двічі поспіль не з’явиться герб, при цьому число кидань не більше чотирьох. Знайти функцію розподілу числа кидань монети і побудувати її графік.
В колі радіусу r навмання вибирається точка. Знайти функцію розподілу відстані точки від центру кола і побудувати її графік.
Нехай
є неперервна функція розподілу випадкової
величини
.
Знайти функцію розподілу випадкової
величини
,
де a і b
– постійні.
Функція розподілу випадкової величини задана формулою
При якому a
функція F(x)
неперервна? При цьому значенні a
побудувати графік функції розподілу і
обчислити ймовірність того, що
(1,
3).
Випадкова величина задана функцією розподілу:
Знайти ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань випадкова величина три рази прийме значення з інтервалу (0,25; 0,75).
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
.
Знайти значення постійної С.
Обчислити ймовірність того, що
.
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
.
Обчислити значення постійної С.
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
.
Знайти значення постійної С
і обчислити ймовірність того, що
.
Обчислити
і
.
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
Обчислити і .
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
Обчислити і .
Густину розподілу випадкової величини задано функцією
Знайти і . Обчислити функцію розподілу F(x) і побудувати графік.
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
Знайти і . Обчислити функцію розподілу F(x). Побудувати графіки функцій p(x) і F(x).
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
Знайти і . Обчислити функцію розподілу F(x).
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
Як називається цей розподіл? Обчислити , і функцію розподілу F(x).
Густина розподілу випадкової величини задана функцією
Як називається цей розподіл? Знайти значення параметрів a і b, знайти густину розподілу р(х); побудувати графіки функцій р(х) і F(x).
Вважаючи, що наближене значення ребра куба a є випадкова величина, рівномірно розподілена на проміжку
,
знайти математичне сподівання і
дисперсію об'єму куба.