Статистичне означення ймовірності: Статистичною ймовірністю події а називається відношення кількості m випробувань, в яких подія а відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n:
Аксіоматичне означення ймовірностей: У системі аксіом, запропонованій А. М. Колмогоровим, невизначеним є поняття елементарної події і ймовірність. Наведемо аксіоми, які визначають імовірність:
1. Кожній події поставлено у відповідність невід’ємне дійсне число Р(А). Це число називається ймовірністю події А.
2. Імовірність достовірної події дорівнює 1.
3. Імовірність настання хоча б однієї події дорівнює сумі ймовірностей подій.
Задачі 87.4-162.4
Випадково кинули два гральних кубика. Знайти ймовірності таких подій:
а) сума випавших зерен дорівнює семи;
б) сума випавших зерен не перевищує п´яти;
в) сума випавших зерен дорівнює восьми, а різниця – чотирьом;
г) сума випавших зерен – просте число;
д) сума випавших зерен рівна п’яти, а добуток – чотирьом.
В урні сто жетонів з номерами від 1 до 100. Яка ймовірність того, що навмання взятий жетон має номер, якій не містить цифри 3?
Куб, усі грані якого пофарбували, розрізаний на тисячу кубиків однакового розміру, котрі потім ретельно перемішуються. Знайти ймовірність того, що навмання взятий кубик:
а) не має жодноі грані, яка пофарбована; б) має тільки одну пофарбовану грань; в) дві пофарбовані грані; г) три пофарбовані грані.
В урні дві білі та чотири чорні кулі. Послідовно виймають всі кулі. Знайти ймовірність того, що останньою дістануть чорну кулю.
Випадковим чином кинуто два гральних кубика. Знайти ймовірність того, що цифра 5 з’явиться хоч би на одному з них.
Числа 1,2,3,4 та 5 написані на п’яти картках. Навмання вибирають три картки та кладуть їх зліва направо. Знайти ймовірність того, що одержиться парне число.
Набираючи номер телефона, абонент забув дві останні цифри. Знаючи, що вони різні, абонент набрав дві останні цифри навмання. Яка ймовірність того, що він набрав правильний номер?
На восьми картках записані числа 2,4,6,7,8,11,12 та 13. Навмання взяли дві картки. Знайти ймовірність того, що утворений з чисел, які записані на цих картках, дріб можна скоротити.
П’ять відрізків мають довжину 1,3,5,7 та 9. Навмання вибирають три відрізка з п’яти. Знайти ймовірність того, що з них можна скласти трикутник.
З 15 деталей 10 фарбовані. Вибирають навмання 3 деталі, знайти ймовірність того, що ці три деталі виявились фарбованими.
Зі 100 питань програми студент підготував до іспиту 70 питань. Викладач навмання запропонував студенту відповісти на три запитання. Знайти ймовірність того, що студент відповість на всі три запитання.
Лотерейні білети мають п’ятизначний номер, починаючи з 00001. Яка ймовірність того, що навмання вибраний білет лотереї не містить однакових цифр?
З 10 книг – 5 мають ціну 40 гривень, 3 книги по 10 гривень, 2 книги – по 30 гривень. Знайти ймовірність того, що навмання вибрані книги коштують 50 гривень.
В урні три білі, чотири чорні та п’ять червоних куль. Навмання вибирають з урни дві кулі. Яка ймовірність того, що вони одного кольору?
В класі 25 учнів – 13 хлопців та 12 дівчат. Яка ймовірність того, що на початку занять в клас першою зайде дівчинка? Першим зайде хлопець?
На окремих картках записані літери А, У, П, Р, С. Картки перемішують та розкладають випадковим чином в ряд. Знайти ймовірність того, що при цьому утворюється слово ПАРУС.
На окремих картках записані літери А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Т. Знайти ймовірність того, що з карток, випадковим чином розкладених в ряд, утворюється слово МАТЕМАТИКА.
На полиці випадковим чином розставлено вісім книг. Знайти ймовірність того, що три певні книги стоятимуть поруч.
На окремих картках написані літери А,А,А,А,Б,В,Г,Д,Е,К. Картки перемішують та випадковим чином розкладають в ряд. Знайти ймовірність того, що картки з літерою А будуть розташовані поруч.
П’ятитомний збірник творів розташований на полиці випадковим чином. Знайти ймовірність того, що томи розташовані в потрібному порядку зліва направо або справа наліво.
Для проведення змагань 10 команд, з яких дві набагато сильніші за інші, ділять на дві групи по п’ять команд в кожній. Знайти ймовірність того, що дві сильніші команди: а) потраплять в різні групи; б) потраплять в одну групу.
В певний день у одного вчителя два уроки, в другого – три. Враховуючи, що в цей день у всіх класах по шість уроків, знайти ймовірність того, що у випадку відсутності одного вчителя, другий зможе провести за нього урок.
З 10 білетів лотереї два виграшних. Купили п’ять білетів. Знайти ймовірність того, що серед них: а) один виграшний; б) два виграшних; в) хоч би один виграшний.
В цеху працюють шість чоловіків та чотири жінки. Навмання відібрано семеро людей. Знайти ймовірність того, що серед них три жінки.
На окремих картках записані натуральні числа від 1 до 49 включно. Навмання вибрали шість карток. Знайти ймовірність того, що m з них – це картки, на яких написані лише числа від 1 до 6 (m=0,1,2,3,4,5,6).
Десять людей випадковим чином сідають в поїзд, який складається з 10 вагонів. Знайти ймовірність того, що всі вони будуть в різних вагонах.
П’ять чоловіків та п’ять жінок випадковим чином сідають за круглий стіл. Знайти ймовірність того, що дві людини однієї статі не будуть сидіти поруч.
Десятеро пасажирів сідають випадковим чином в три вагони. Знайти ймовірність того, що а) в кожний вагон сядуть по три пасажири; б) в один вагон сядуть чотири , в другий – три, а в третій – два пасажири.
На першому поверсі дев’ятиповерхового будинку сідають в ліфт чотири людини. Яка ймовірність того, що вони зійдуть а) на різних поверхах; б) всі на одному поверсі?
Чотири листа, різних за адресою, кладуть у конверти з написаними випадковим чином адресами. Знайти ймовірність того, що а) всі листи потраплять у конверт з потрібною адресою; б) три листи потраплять у конверт з потрібною адресою; в) один лист потрапить у конверт з потрібною адресою; г) три листи потраплять у конверти з чужою адресою; д) всі листи потраплять у конверт з потрібною адресою.
В туристичний похід вирушили 8 людей. Яка ймовірність того, що серед них половина жінок?
На вступних іспитах проводиться тестування з математики. Абітурієнту пропонується по 4 завдання першого, другого та третього рівня. Завдання першого рівня оцінюються в 1 бал, другого – в 2, третього – в 3 бали. Абітурієнт отримав 20 балів. Яка ймовірність того, що всі завдання першого рівня він розв’язав? Яка ймовірність того, що він не розв’язав одне завдання третього рівня?
На письмовому іспиті з математики абітуріенту пропонується 5 завдань, кожне з яких оцінюється або в 2 бали, або в 0 балів. Для складання іспиту досить 6 балів. Знайти ймовірність того, що абітурієнт, який склав іспит, не розв’язав задачу з геометрії?
Із коробки доміно беруть навмання три пластинки. Яка ймовірність того, що всі вони є «дублями»?
На кожній із шести однакових карток надруковано одну з літер Е, Н, А, І, Т, Г. Картки витягують навмання послідовно і складають зліва направо. Яка ймовірність того, що в результаті вийде слово «НАТІГ»?
Партія із 10 деталей містить 4 браковані. Знайти ймовірність того, що з навмання взятих двох деталей будуть:
дві придатні;
дві браковані;
1 придатна і 1 бракована.
Партія складається з 20 виробів, з яких 8 виробів 1-го сорту, 6 – 2-го, 2 – 3-го сорту, а решта – браковані. Навмання беруть 4 вироби. Знайти ймовірність того, що серед них виявилося 2 вироби 1-го сорту, 1–2-го сорту і 1 бракований.
На складі є 10 кінескопів заводу № 1 і вісім кінескопів заводу № 2. Навмання взято чотири кінескопи. Знайти ймовірність того, що серед них два кінескопи заводу № 1 і два кінескопи заводу № 2.
За підсумком року акції десяти фірм мали прибуток, чотирьох фірм знецінились, а акції шести фірм – зберегли свою номінальну вартість. Яка ймовірність того, що випадково куплені шість акцій різних фірм матимуть прибуток?
Партія електролампочок складається з 10 придатних і п’яти бракованих. Із партії навмання по одній беруть усі лампочки. Знайти ймовірність того, що останньою буде взято придатну.
У партії із 16 деталей чотири – нестандартні. Навмання з поверненням беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед них дві деталі будуть стандартними.
Для молодіжної вечірки діджей заготував 20 компакт-дисків, 7 з яких з інструментальною музикою. Знайти ймовірність того, що з чотирьох навмання відібраних компактів три будуть з інструментальною музикою.
До ліфта дев’ятиповерхового будинку на 1-му поверсі зайшло троє пасажирів. Кожен із них з однаковою ймовірністю виходить на будь-якому з поверхів, починаючи з 2-го. Знайти ймовірність того, що всі пасажири:
вийдуть на 5-му поверсі;
вийдуть одночасно на одному з поверхів;
вийдуть на різних поверхах.
У конверті 10 акцій, серед яких три фірми А. Навмання відібрано 4 акції. Яка імовірність того, що серед них буде одна акція фірми А?
В автосалоні шість автомобілів мають магнітофони фірми «AIWA», сім – фірми «PHILIPS», десять – фірми «PIONEER». За день продано п’ять авто. Знайти ймовірність того, що всі авто з магнітофонами фірми «PHILIPS» залишилися на своїх місцях.
Академічній групі, в якій 12 дівчат та 18 юнаків, запропоновано придбати 10 акцій банку «Надра». Знайти ймовірність того, що власниками акцій стануть 4 юнаки та 3 дівчини, якщо розігрування здійснюється випадковим чином.
Пасажир забув дві останні цифри коду комірки автоматичної камери схову, де він залишив речі. Знайти ймовірність того, що після першого набору коду із двома останніми навмання набраними цифрами комірка відчиниться, а також імовірність цієї ж події у випадку, коли пасажир пам’ятає, що ці цифри різні.
Серед 30 видів акцій будівельних організацій 19 стали прибутковими, 5 – збитковими, а 6 залишилися без змін. Яка ймовірність того, що серед п’яти навмання придбаних акцій різних видів прибутковими виявляться три?
Цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 написано на однакових картках, які ретельно перемішано. Тричі навмання беруть по одній картці і кладуть їх зліва направо. Знайти ймовірність того, що утворене тризначне число виявиться: а) парним; б) кратним трьом; в) кратним 5.
У шухляді є вісім однотипних деталей, три з яких браковані (решта – стандартні). Навмання з шухляди беруть три деталі. Знайти імовірність подій Аі де і – число бракованих деталей серед взятих (і = 0, 1, 2, 3).
До контролера надійшла партія однотипних виробів кількістю 20 шт. Серед них є п’ять бракованих, але про це йому невідомо. Контролер навмання бере чотири вироби для перевірки. Якщо всі відібрані вироби виявляться доброякісними, то партія пропускається. Знайти ймовірність того, що партія буде пропущена контролером.
В кафе на початок зміни було 5 пакетів кави «Jacobs», 6 – «Nescafe», 8 – «Галка». Попит на кожний із цих видів кави був однаковий. За зміну було продано п’ять пакетів. Яка імовірність того, що вся кава «ГАЛКА» залишилася невитраченою?
У касовому апараті є вісім 25-копійчаних монет, 10 – вартістю по 50 коп. і 12 – по 5 коп. Знайти ймовірність того, що серед п’яти навмання взятих монет не виявиться жодної вартістю 50 коп.
Першість області з баскетболу виборюють 18 команд, які жеребкуванням поділяються на дві групи, по 9 команд у кожній. 5 команд зазвичай займають перші місця. Яка ймовірність потрапляння всіх лідируючих команд в одну групу? Яка ймовірність потрапляння двох лідируючих команд в одну групу і трьох – в іншу?
Світлана і Василь домовилися зустрічати Новий рік у компанії чисельністю 10 осіб. Вони дуже хотіли сидіти за святковим столом поруч. Яка ймовірність виконання цього бажання, якщо в їхній компанії є звичай розподіляти місця жеребкуванням.
Із шести літер розрізної абетки складено слово «книжка». Маленький хлопчик змішав літери, а потім навмання їх зібрав. Яка ймовірність того, що він знову отримав те саме слово?
У контейнері є 20 деталей, серед яких 8 нестандартних. Знайти ймовірність того, що число нестандартних деталей серед п’яти навмання взятих деталей виявиться рівним: а) 0; б) 2; в) 5.
Студент підготував на залік 36 питань із 42. Знайти ймовірність того, що він складе залік за першим разом, якщо для цього достатньо правильно відповісти на три навмання витягнуті питання (кожне із 42 питань надруковане на окремій картці).
Серед 18 телевізорів, що продаються, 6 вимагають додаткового регулювання. Знайти ймовірність того, що з п’яти куплених телевізорів два потребуватимуть додаткового регулювання.
3 двадцяти пісень, трансльованих українським радіо, 12 є російськомовними. Яка ймовірність того, що слухач передачі з перших п’яти прослуханих пісень мав нагоду чути тільки російську мову?
Банк протягом місяця мав видати в кредит позику дванадцяти клієнтам першого району і десяти клієнтам другого району. Ця операція здійснюється поетапно. Знайти ймовірність того, що за перший тиждень кредити отримають два клієнти першого району і чотирі клієнти другого, якщо всі клієнти мають однакові можливості отримати позику.
Стрижень завдовжки
розрубують на дві частини. Знайти
ймовірність того, що менша з частин, на
які він поділяється, має довжину не
менш як
Усередині круга радіусом R навмання вибирають точку. Знайти ймовірність того, що точка потрапить усередину:
вписаного у круг квадрата;
вписаного у круг правильного трикутника.
У коло радіуса 10 кидають точку. Знайти ймовірність того, що відстань від точки до центра кола не перевищує 4.
На колі взято будь-які три точки А, В, С. Знайти ймовірність того, що трикутник АВС гострокутний.
На колі радіуса R навмання взято дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не перевищує r(r ≤ 2R).
У прямокутник 5х4 см2 вписано коло радіусом 1,5 см. Якою є ймовірність того, що точка, випадково поставлена у прямокутник,виявиться у середині кола?
Точку навмання поставили на відрізок [0; 2]. Якою є ймовірність влучення точки на менший відрізок: [0,5; 1,4]?
Два студенти А і В домовилися зустрітись у визначеному місці між 12-ю та 13-ю годинами. Той, хто прийшов першим, чекає на другого упродовж 20 хвилин, після чого йде. Якою є ймовірність зустрічі студентів А і В, якщо: 1) прихід кожного з них може відбутися навмання упродовж зазначеної години; 2) моменти часу їх приходу є незалежними.
У ящику знаходяться фрукти: 5 апельсинів і 4 яблука. Навмання обирають 3 фрукти. Якою є ймовірність, що усі вони будуть апельсини?
У партії, що складається з k виробів, є l дефектних. Із партії навмання обирається для контролю r виробів. Знайти ймовірність події А, яка відповідає тому, що з вибраних r рівно s виробів будуть дефектними.
Визначити ймовірність того, що партія із 100 деталей, серед яких 5 бракованих, буде прийнята при випробуваннях навмання узятої половини усієї партії, якщо умовами прийому допускається бракованих деталей не більше однієї з п'ятдесяти.
Визначити ймовірність того, що корені квадратного рівняння х2 + 2ах + b = 0 будуть: а) дійсними; б) додатними, якщо значення коефіцієнтів у прямокутнику |a| < N, |b| < M є рівноможливими.
Із 33 карток із літерами українського алфавіту навмання вибирають 7 карток. Якою є ймовірність, що ці п’ять літер у порядку виймання складуть слово КАФЕДРА.
Знайти ймовірність, що при підкиданні двох кубиків сума очок буде кратна чотирьом. Розписати простір подій.
Гравець кидає два гральні кубики. Яка ймовірність того, що сума одержаних цифр кратна 3? Розписати простір подій.
Яка імовірність того, що Ваша майбутня дитина народиться:
5 числа; 2) 30 числа; 3) 28 числа?