4. Теорема Бернуллі

Теорема. Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на (>0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

!

Доведення. Оскільки W(A)=m/n, де m – число експериментів – яких випадкова подія А спостерігалась, n – загальне число проведених експериментів, то ми можемо записати, що , де Х_і – дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової величини Х_і можна записати так:

хі	0	1
рі	q	p

Числові характеристики Х_і:

M(X_i)=0∙q+1∙p=p;

M(X²_i)=p;

D(X_i)=M(X²_i)–M²(X_i)=p–p² =p(1–p)=pq.

Нерівність Чебишева для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

.

Отже, доведено, що

Приклад 5. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовір­ність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.

Розв’язання. За умовою задачі: р = 0,95; q = 0,05; n = 400. На підставі (333) дістаємо:

Приклад 6. Скільки необхідно провести експериментів n, щоб імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р = 0,85, взяте за абсолютною величиною, на  = 0,001, була б не меншою за 0,99.

Розв’язання. Із умови задачі маємо р = 0,85; q = 0,15;  = 0,001,

.

Задачі 395.11-310.11

101. Імовірність появи випадкової події в одному експерименті є величиною сталою і дорівнює 0,3. Із якою імовірністю можна стверд­жувати, що відносна частота цієї події при 100 експериментах буде знаходитись у межах [0,2; 0,4].

Відповідь. 0,98.

101. Випадкова подія А може здійснитися при одному експерименті із імовірністю р. Експеримент повторили n раз. Яка ймовірність того, що при цьому виконується нерівність np–2 <m<n+2 .

Відповідь. 0,9544.

101. Яке повинна мати значення величина  у нерівності Чебишева, щоб , коли відомо, що  (Х) = 4.

Відповідь. =20.

101. Із якою надійністю середнє арифметичне вимірів певної величини відповідає істинному виміру цієї величини, якщо було здійснено 500 вимірювань із точністю 0,1 і при цьому дисперсії випадкових величин – результатів вимірювання – не перевищують 0,3.

Відповідь. 0,94.

101. Скільки необхідно провести вимірів діаметра втулки, щоб середнє арифметичне цих вимірів відрізнялося від істинного розміру діаметра втулки не більше як 0,05 із надійністю 90%, якщо дисперсії випадкових величин (результатів вимірів) не перевищують 0,2.

Відповідь. n=800.

101. Імовірність того, що за час t із ладу вийде один конденсатор, дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що за час t із 100 конденсаторів із ладу вийде:

1) не менш як 28 конденсаторів;

2) від 14 до 26 конденсаторів?

Відповідь. 1) 0,98; 2) 0,9.

101. При відливанні відливок, із яких потім виготовляють на верстатах деталі, одержують у середньому 20% браку. Скільки необхідно запланувати відливок, щоб із імовірністю не меншою за 0,95 була забезпечена програма випуску деталей, для виготовлення яких необхідно 50 бездефектних відливок.

Відповідь. n=305.

101. Здійснюється вибіркове обстеження партії електроламп для визначення тривалості їх горіння. Скільки необхідно перевірити елек­тролампочок, щоб із імовірністю не меншою за 0,9876 можна було стверджувати, що середня тривалість горіння лампочки для всіх n штук перевірених відхилялось від її середньої величини не більше ніж на 10 годин, якщо середнє квадратичне відхилення тривалості горіння лампочок дорівнює 80 годин.

Відповідь. n=4776.

101. Випадкова величина – середнє арифметичне 10000 незалежних випадкових велечин, що мають один і той самий закон розподілу, і середнє квадратичне відхилення кожної із них дорівнює 2. Яке максимальне відхилення величини від його математичного сподівання можна очікувати із імовірністю 0,9544?

Відповідь. 0,04.

101. Верстат із програмним управлінням виготовляє за робочу зміну 900 виробів, із яких в середньому 1% складає брак. Знайти наближено ймовірність того, що за зміну буде виготовлено не менше 810 доброякісних виробів, якщо вони виявляються доброякісними незалежно один від одного.

Відповідь. 0,99865.

101. Кожна із 40 незалежних випадкових величин має гамма-розподіл із значенями параметрів  = 2,  = 10. На підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей записати наближено закон розподілу для випадкової величини .

Відповідь.а=8;   0,9; .

101. У касі певного закладу в наявності є 4000 гривень. У черзі знаходиться n=30 робітників. Сума X, яку потрібно виплатити кожному, є випадковою величиною із математичним сподіванням, рівним 200 грн. і середнім квадратичним відхиленням =60 грн. Знайти ймовірність того, що суми, котра є в касі, не вистачить усім людям, які стоять у черзі.

Відповідь. грн.;

грн.;

. Не вистачить.

101. Зберігається умова задачі 12, тільки в черзі стоїть n = 15 робітників і сума Х, яку повинен одержати кожний із них, є випадковою величиною із значеннями M(X)=150грн., (Х)=60 грн. Яка ймовірність того, що суми вистачить усім людям?

Відповідь. грн.; грн.;

.

Усім робітникам вистачить суми, що є в касі.

101. Залізничний потяг складається із 30 вагонів. Маса кожного з них є випадковою величиною Х із математичним сподіванням M(X) = 400 т і середнім квадратичним відхиленням (Х)=20 т. Локомотив може нести масу не більшу за 12100 т. Якщо маса потяга перевищує допустиму, то необхідно причеплювати другий локомотив. Знайти ймовірність того, що одного локомотива не досить для перевезення потяга.

Відповідь. – маса потяга.

; ;

.

101. Маємо 100 ідентичних елементів, що складають певний технічний комплекс. Час безвідмовної роботи кожного i-го елементу є випадковою величиною Т_і, що має експоненціальний закон розподілу із параметром  = 40 і однаковим для всіх елементів. Випадкові величини T₁, T₂, T₃,...,T₁₀₀ є незалежними між собою. У разі відмови в роботі i-го елемента миттєво здійснюється переміщення на i+1-й справний елемент. Загальний час безвідмовної роботи комплексу дорівнює сумі T_i, а саме . Знайти наближено ймовірність того, що комплекс безвідмовно пропрацює не менш як 20 год.

Відповідь:

.

101. Верстат-автомат виготовляє за робочу зміну n = 1000 виробів, із яких брак у середньому становить 5%. На скільки доброякісних виробів k має бути розрахований бункер для доброякісних виробів, щоб імовірність його переповнення за зміну не перевищувала 0,001.

Відповідь.