- •Міністерство освіти і науки україни
- •Кіровоградський національний технічний університет
- •Кафедра вищої математики
- •Комбінаторіка та елементи теорії ймовірностей
- •Елементи комбінаторики.
- •Тема 1. Перестановки, розміщення, сполучення без повторень. Теоретичні відомості
- •Приклад 2. В групі 13 хлопців та 12 дівчат. Скільки танцювальних пар вони можуть утворити?
- •Розміщення та перестановки без повторень.
- •Біном Ньютона.
- •Задачі 1.1-51.1
- •Сполучення без повторень.
- •Тема 2. Перестановки, розміщення, сполучення з повторенням. Теоретичні відомості Розміщенням з повторенням
- •Визначення. Розміщенням з повторенням з n елементів по k називається кортеж (вибірка з повторенням) довжини k з n елементів.
- •Задачі 52.2-72.2
- •Тема 3. Простір елементарних подій. Події та операції над ними. Теоретичні відомості
- •На рисунку 1 подію а в схематично зображено заштрихованою областю.
- •Ненастанням події в (рис. 3).
- •Задачі 73.3-86.3
- •Тема 4. Класичне означення ймовірності. Геометричне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності. Теоретичні відомості
- •Статистичне означення ймовірності: Статистичною ймовірністю події а називається відношення кількості m випробувань, в яких подія а відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n:
- •Тема 5. Теореми додавання та множення. Теоретичні відомості
- •Теорема додавання.. Ймовірність суми двох несумісних подій (або а або в ( )) дорівнює сумі ймовірностей двох подій:
- •Задачі 163.5-225.5
- •Тема 6. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса. Теоретичні відомості
- •Задачі 226.6-277.6
- •Тема 7. Послідовні випробування. Формула Бернуллі.
- •Задачі 278.7-311.7
- •Тема 8. Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна формули Муавра-Лапласа. Теоретичні відомості
- •Задачі 312.8-352.8
- •Тема 9. Випадкові величини. Закон розподілу випадкової величини. Інтегральна функція розподілу. Диференціальна функція розподілу.
- •Математичне сподівання квадрата відхилення значень випадкової величини від її математичного сподівання називається дисперсією.
- •Задачі 353.10-394.10
- •Тема 11. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Граничні теореми теорії ймовірності.
- •1. Закон великих чисел.
- •2. Нерівність Чебишева
- •3. Теорема Чебишева
- •4. Теорема Бернуллі
- •Задачі 395.11-310.11
- •Тема 12. Деякі види розподілів випадкових величин.
- •Правило трьох сигм для нормального закону
- •Розв’язання.
- •Задачі 411.12-449.12
- •Література
Задачі 52.2-72.2
Скільки існує телефонних номерів з 7 цифр, в перших 3 цифрах яких не зустрічаються цифри 0 та 9?
Маємо 5 видів конвертів без марок та марки чотирьох видів. Скількома способами можно вибрати конверт з маркою для того, щоб відіслати листа?
Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох літер та чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, якщо використовуються 32 літери.
Четверо студентів складають іспит. Скількома способами їм можуть бути виставлені оцінки, якщо відомо, що ніхто не одержав “незадовільно”?
Ювелір має 5 однакових смарагдів, 8 однакових рубінів та 7 однакових сапфірів. Скількома способами він може обрати 3 камені для прикраси?
З точок та тире складені всі можливі кортежі з 7 символів. Яка найбільша кількість таких кортежів, які відрізняються не менш ніж в трьох позициях?
Скільки чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 8 та 9?
Маємо 4 білих кулі, 3 синіх та 3 червоних. Скількома способами можна скласти з них кортеж, якій складається з n куль, якщо n=1,2,3,4,5?
На залізничній станції n світлофорів. Скільки може бути послано різних сигналів за допомогою цих світлофорів, якщо кожний світлофор має три стани: горить або зелене, або жовте, або червоне світло?
Скільки існує п’ятизначних чисел? В скількох з них всі цифри парні? В скількох всі цифри непарні? В скількох входять цифри менше шести? В скількох немає цифр більше трьох? Скільки з них складаються з цифр 1,2,3,4,5? Скільки містять всі цифри 0,2,4,6,8?
Терміново треба надіслати 6 листів. Скількома способами це можна зробити, якщо для того, щоб передати листи можна посилати трьох листонош, та будь-який лист можна дати будь-кому з них?
Маємо набір з 16 карток. На чотирьох написана літера А, на чотирьох – Б, на чотирьох – В, на чотирьох – Г. Скільки різних слів можна одержати, вибираючи з набору 4 картки і розміщюючи їх у деякому порядку?
Знайдіть суму чотиризначних чисел, які одержуються за допомогою всіляких перестановок цифр 1,1,4,4. Те ж саме для 0,0,4,4.
Скільки існує трикутників, довжини сторін яких приймають одне з таких значень: 4,5,6,7 см?
Для премій з математичної олімпіади виділено 3 екземпляри однієї книги, 4 – другої і 8 – третьої. Скількома способами можна розділити ці премії між 30 учасниками, якщо будь-якому вручають не більше однієї книги?
Абітурієнт повинен скласти 4 іспити. Вважається, що для зарахування достатньо набрати 17 балів, при цьому двійок не повинно бути. Скількома способами він може скласти іспити, набравши не менше 17 балів і не одержавши жодної двійки?
Скількома способами можна вибрати з натуральних чисел від 1 до 20 два числа так, щоб їх сума була непарна?
Знайдіть суму всіх тризначних чисел, які можна записати за допомогою цифр 1,2,3,4. Розв’яжіть цю задачу, якщо жодна цифра не повторюється двічі в цьому числі.
Скількома способами 9 пасажирів можна розмістити у трьох вагонах? Для скількох комбінацій в перший вагон сядуть 3 з них? Для скількох комбінацій в один вагон сяде 4, у другий – 3, а у третій – 2 пасажири?
На вступних іспитах проводиться тестування з математики. Абітурієнту пропонується по 4 завдання першого, другого та третього рівня. Завдання першого рівня оцінюються в 1 бал, другого – у 2, третього – у 3 бали. Абітурієнт отримав 20 балів. Скількома способами він міг це зробити?
На письмовому іспиті з математики абітуріенту пропонується 5 завдань, кожне з яких оцінюється або в 2 бали, або в 0 балів. Скількома способами абітурієнт може скласти іспит?