§ 5. Регрессионный анализ

5.1. Линейная корреляция

Если обе линии регрессии на и на - прямые, то корреляцию называют линейной.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии на Х имеет вид

(5.1)

где - условная средняя; - выборочные средние признаков и ; - выборочные средние квадратические отклонения; - выборочный коэффициент корреляции, причем

Выборочное уравнение прямой регрессии Х на Y имеет вид

(5.2)

Если данные наблюдений над признаками и заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам.

где - «ложный ноль» варианты (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного ноля варианту, имеющую наибольшую частоту); - шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами ; - ложный нуль варианты Y; - шаг варианты .

В этом случае выборочный коэффициент корреляции

прилагаем слагаемое удобно вычислять, используя расчетную таблицу 5.3.

Величины могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам

Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения регрессии (5.1) и (5.2) величины по формулам:

Для оценки линейной корреляционной связи служит выборочный коэффициент корреляции ; чем ближе к единице, тем связь сильнее; чем ближе к нулю, тем связь слабее.

Пример 5.1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии на по данным, приведенным в корреляционной таблице 5.1.

Таблица 5.1

Х Y	20	25	30	35	40
16	4	6	-	-	-	10
26	-	8	10	-	-	18
36	-	-	32	3	9	44
46	-	-	4	12	6	22
56	-	-	-	1	5	6
	4	14	46	16	20

Решение. Составим корреляционную таблицу 5.2 в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей (каждая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).

Найдем и :

Найдем вспомогательные величины :

Найдем

Таблица 5.2

	-2	-1	0	1	2
-2	4	6	-	-	-	10
-1	-	8	10	-	-	18
0	-	-	32	3	9	44
1	-	-	4	12	6	22
2	-	-	-	1	5	6
	4	14	46	16	20

Найдем , для чего составим расчетную таблицу 5.3.

Суммируя числа последнего столбца таблицы 5.3, находим

Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки:

Таблица 5.3

	-2	-1	0	1	2
-2	-8 4 -8	-6 6 -12				-14	28
-1	-	-8 8 -8	0 10 -10			-8	8
0	-	-	0 32 0	3 3 0	18 9 0	21	24
1	-	-	0 4 4	12 12 12	12 6 6	24	24
2	-	-	-	1 1 2	10 5 10	11	22
	-8	-20	-6	14	16
	16	20	0	14	32		Контроль

Совпадение сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Пояснения к составлению частоты таблицы 5.3.

1.Произведение частоты на варианту , т.е. записывается в правом верхнем углу клетки, содержащей значение частоты. Например, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения:

2.Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной строки, и их сумму помещают в клетку этой же строки «столбца ». Например, для первой строки

3.Наконец, умножают варианту на и полученное произведение записывают в соответствующую клетку «столбца ». Например, в первой строке таблицы , следовательно,

4.Сложив все числа «столбца », получают сумму , которая равна искомой сумме . Например, для таблицы 5.3:

=82, следовательно, искомая сумма =82.

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения записывают в левый нижний угол клетки, содержащей значение частоты; все числа, помещенные в левых нижних углах одного столбца, складывают и их сумму помещают в «строку V»; наконец, умножают каждую варианту и результат записывают в клетках последней строки.

Сложив все числа последней строки, получают сумму которая равна искомой сумму . Например, для таблицы 3

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

Найдем шаги (разности между любыми двумя соседними вариантами):

Вычислим , учитывая, что :

Найдем :

Подставив найденные величины в соотношение (5.1), получим искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X:

или окончательно