1.3. Полигон и гистограмма

1.3.1. Дискретное распределение признака

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( ), ( ), …, ( ), где - варианты выборки, а - соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( ),( ), …, ( ), где - варианты выборки, а - соответствующие им относительные частоты.

1.3.2. Непрерывное распределение признака

При непрерывном распределении признака интервал, в котором заключены все наблюденные значения признака, разбивают на ряд частичных интервалом длины и находят - сумму частот вариант, попавших в интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность частоты). Площадь частичного прямоугольника равна - сумме частот вариант, попавших в интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме частот, всех частот, т.е. объему выборки .

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность относительной частоты). Площадь частичного прямоугольника равна - относительной частоте вариант, попавших в интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Пример 1.3. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

Решение. Отложим на оси абсцисс варианты , а на оси ординат соответствующие им частоты . Соединив точки ( ) отрезками прямых, получим искомый полигон частот ( см. рисунок).

Рис. 1.2. Полигон частот.

Пример 1.4. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема :

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1 2 3 4 5	1-5 5-9 9-13 13-17 17-21	10 20 50 12 8	2,5 5 12,5 3 2

Решение. Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины . Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс, и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты . Например, над интервалом (1,5) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии ; аналогично строят остальные отрезки.

Искомая гистограмма частот изображена на рисунке.

Рис 1.3. Гистограмма частот.

§ 2. Статистические оценки параметров распределения

2.1. Точечные оценки

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

где - варианта выборки, - частота варианты , - объем выборки.

Замечание 2.1. Если первоначальные варианты - большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число , т.е. перейти к условным вариантам (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

.

Эта оценка является смещенной, так как

Более удобна формула

Замечание 2.2. Если первоначальные варианты - большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число , равное выборочной средней или близкое к ней, т.е. перейти к условным вариантам (дисперсия при этом не изменится). Тогда

Замечание 2.3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с десятичными знаками после запятой, то чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число , т.е. переходят к условным вариантам . При этом дисперсия увеличится в раз. Поэтому, найдя дисперсию в условных вариантах, надо разделить ее на :

.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

Более удобна формула

В условных вариантах она имеет вид

причем, если то если то

Замечание 2.4. При большом числе данных используют метод произведений или метод сумм.

Пример 2.1. В итоге пяти измерений длины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм ): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение. а) Найдем выборочную среднюю:

б) Найдем выборочную дисперсию:

Найдем исправленную дисперсию: