§ 4. Проверки статистических гипотез о законе распределения

4.1. Применение критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Пусть имеется наблюдений над случайной величиной . Пусть далее значения случайной величины распределены в интервалах с частотами и среднеинтервальными значениями .

Тогда можно записать эмпирическое распределение случайной величины Х в следующем виде:

(4.1)

где

(4.2)

Допустим, что анализ опытных данных привел к выбору некоторого теоретического распределения в качестве предполагаемого для данной случайной величины . Оценки параметров этого закона определим по выборке. С помощью указанного закона вычислим теоретические частоты для которых также

(4.3)

В качестве меры расхождения теоретического и эмпирического рядов частот можно взять величину

(4.4)

Сумма (4.4) распределена приближенно, как - распределение (читается: «хи квадрат распределение») с плотностью распределения вероятностей

_{. (4.5)}

и с числом степеней свободы где – число тех связей, которые были наложены на экспериментальный материал при оценке параметров распределения, необходимых для вычисления теоретических частот, а - число интервалов.

Применять - критерий нужно с известной осторожностью, так как он основан не на строгом законе, а на приближении, которым можно пользоваться, если условиться объединять крайние частоты ряда распределения так, чтобы частота объединенного разряда была не меньше 5.

При проверке гипотезы нормальности желательно, чтобы число наблюдений было не менее 50.

Схему применения критерия согласия рассмотрим на конкретном примере.

1.На основе опытных данных (см. столбцы 2 и 3 следующей ниже таблицы 4.1) предполагаем, что закон распределения случайной величины является нормальным и по известным формулам определяем выборочные оценки параметров его распределения: выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение .

Отметим, что поскольку групповая частота (см. табл. 4.1) в последней группе мала (меньше пяти) ее следует объединить с частотой предыдущей группы. В результате этого количество групп уменьшится с 10 до 9.

2.Введем в рассмотрение нормированную случайную величину

(4.6)

и вычислим теоретические частоты

(4.7)

где - объем выборки; - длина интервала; - нормированная функция плотности нормального распределения.

3. По формуле (4.4) вычисляем наблюдаемое значение критерия .

4.Определяем число степеней свободы .

5.По таблице распределения находим критическое значение при уровне значимости =0,05 и степенях свободы. Значение .

6.Делаем вывод: поскольку меньше критического , то гипотеза о нормальном распределении частот верна.

7. Строим полигон частот и кривую распределения вероятностей (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Полигон частот и кривая распределения вероятностей продолжительности периода полировки

Таблица 4.1. Распределение данных о продолжительности периода полировки ( )

Границы групп	Среднеинтер- вальные значения	Групповая эмпирическая частота	Нормированная случайная величина	Значения функции	Теоретическая частота		Накопленная эмпирическая частота	Накопленная теоретическая частота
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0,83-1,33 1,33-1,83 1,83-2,33 2,33-2,83 2,83-3,33 3,33-3,83 3,83-4,33 4,33-4,83 4,83-5,33 5,33-5,83	1,08 1,58 2,08 2,58 3,08 3,58 4,08 4,58 5,08 5,58	5 21 53 64 66 49 32 13	-2,11 -1,54 -0,97 -0,40 0,17 0,74 1,32 1,89 2,46 3,03	0,0431 0,1219 0,2492 0,3683 0,3932 0,3034 0,1669 0,0669 0,0194 0,0040	8 22 44 65 70 54 30 12	1,12 0,04 1,84 0,01 0,22 0,46 0,13 0,08 2,25	5 26 79 143 209 258 290 303 308 310	8 30 74 139 209 263 293 305 308 309	3 4 5 4 0 5 3 2 0 1
Итого	-	310	-	-	310	6,15	-	-	-

Таблица 4.2. Значения в зависимости от вероятности

и числа степеней свободы - распределения.

Число степеней свободы	Вероятность
	0,10	0,05	0,01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0	3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3	6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2