2. Применение критерия Колмогорова к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Крупнейший советский математик А.Н. Колмогоров в 1933 году для оценки близости между эмпирическим и теоретическим распределениями предложил другой критерий, который основан на соотношении накопленных частот ( ) теоретического и эмпирического рядов распределений. Он ввел в рассмотрение случайную величину

(4.8)

и нашел функцию распределения этой величины

, (4.9)

которую назвали функцией Колмогорова.

Видный советский математик Н.В. Смирнов составил таблицы распределения случайной величины .

Таблица 4.3.

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70	1,000 0,9997 0,0972 0,9874 0,9689 0,9228 0,8643 0,7920 0,7112	0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30	0,6272 0,5441 0,4653 0,8927 0,3275 0,2700 0,1777 0,1122 0,0681	1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20	0,0897 0,0222 0,0120 0,0062 0,0082 0,0015 0,0007 0,0003 0,0001

Если найденному значению соответствует очень малая вероятность , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями нельзя считать случайным. Если же величина значительна, то расхождение между частотами случайно, и эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим.

По данным таблицы 4.1 (см. столбцы 8,9 и 10) имеем

(4.10)

По таблице вероятностей находим , следовательно, распределение данных о продолжительности периода полировки весьма близко к нормальному распределению.

4.3. Критерий в.И. Романовского

Видный советский математик В.И. Романовский предложил более удобную форму использования критерия , введя в рассмотрение величину где - число степеней свободы. Он доказал, что там, где эта величина меньше 3, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественно. Если же отношение Романовского больше 3, то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями является неслучайным и теоретическое распределение не может служить моделью взятых эмпирических данных.

По найденным значениям и определим величину

(4.11)

Так как , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями данных о продолжительности периода полировки является несущественным.

4.4. Критерий б.С. Ястремского

Критерий крупнейшего советского статистика Б.С. Ястремского выражается отношением

(4.12)

где - число групп, - параметр, зависящий от числа групп.

При величина =0,6 и поэтому в этом случае отношение Ястремского имеет вид:

(4.13)

Критерий Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского. По данному определим значение отношения (4.12):

(4.14

)

Так как , то гипотеза о нормальном распределении данных о продолжительности периода полировке противоречит результатам наблюдения.