§ 6. Криволинейная корреляция

Если график регрессии изображается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной. В частности, в случае параболической корреляции второго порядка выборочное уравнение регрессии на имеет вид

Неизвестные параметры находят (например, методом Гаусса) из системы уравнений:

(6.1)

Аналогично находится выборочное уравнение регрессии на

Для оценки силы корреляции на служит выборочное корреляционное отношение (отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака )

или (в других обозначениях)

Здесь где - объем выборки (сумма всех частот); - частота значения признака ; - частота значения признака ; - условная средняя признака ; - общая средняя признака .

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение на :

Пример 6.1. Найти выборочное уравнение регрессии по данным, приведенным в корреляционной таблице 6.1.

Оценить силу корреляционной связи по выборочному корреляционному соотношению.

Таблица 6.1

X Y	2	3	5
25	20	-	-	20
45	-	30	1	31
110	-	31	48	49
	20	31	49

Решение. Составим расчетную таблицу 6.2.

Таблица 6.2

2 3 5	20 31 49	25 47,1 108,67	40 93 245	80 279 1225	160 837 6125	320 2511 30625	500 4380 5325	1000 4380 26624	2000 13141 133121
	100		378	1584	7122	33456	7285	32004	148262

Подставив числа, содержащиеся в последней строке табл.6.2, в систему (6.1), получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов :

Решив эту систему (например, методом Гаусса), найдем

Подставив найденные коэффициенты в уравнение регрессии

окончательно получим

Для того чтобы вычислить выборочное корреляционное отношение , предварительно найдем общую среднюю , общее среднее квадратическое отклонение и межгрупповое среднее квадратическое отклонение :

Найдем искомое выборочное корреляционное отношение:

§ 7. Индивидуальные задания

1. Содержание заданий

Задания выдаются индивидуально каждому студенту в соответствии с его номером в журнале. Все шесть частей задания выполняются на едином статистическом материале, а каждая следующая часть базируется на предыдущей и является её логическим продолжением.

ЗАДАНИЕ 1

1. Определить

2. Разбить каждый из интервалов и на 5 частичных интервалов.

3. Составить распределение выборок и .

4. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины: (для нечетных вариантов); (для четных вариантов). Построить ее график.

5. Построить гистограмму частот распределения признака (для нечетных вариантов), (для четных вариантов).

ЗАДАНИЕ 2

1.Определить выборочные средние, выборочные и исправленные дисперсии и среднеквадратические отклонения случайных величин и .

2.Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью 0,95 неизвестных математических ожиданий случайных величин и .

ЗАДАНИЕ 3

1.Методом произведений вычислить выборочные среднюю, дисперсию, асимметрию и эксцесс случайной величины (для нечетных вариантов), (для четных вариантов).

ЗАДАНИЕ 4

1.С использованием критериев Пирсона, Колмогорова, Романовского и Ястремского, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности для данной случайной величины (для нечетных вариантов), (для четных вариантов).

ЗАДАНИЕ 5

1.Составить корреляционную таблицу для случайных величин и .

2.Вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции.

3.Составить уравнение прямой линии регрессии на .

4.Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции (при уровне значимости ).

ЗАДАНИЕ 6

1.Найти выборочное уравнение регрессии на в виде:

2.Вычислить выборочное корреляционное отношение