5.2.Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность ( ) распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема и по ней найден выборочный коэффициент корреляции Требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что и – некоррелированы; в противном случае – коррелированы.

Правило: Для того чтобы, при уровне значимости , проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку двусторонней критической области.

Если , то нулевую гипотезу отвергают.

Если , то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу которая противоречит нулевой.

В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через .

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через .

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (область допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством - положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством - отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что ).

или равносильным неравенством

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

а) для правосторонней критической области

б) для левосторонней критической области

в) для двусторонней симметричной области

Пример 5.2. По выборке объема , извлеченной из двумерной нормальной совокупности ( ), найден выборочный коэффициент корреляции . Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе

Решение. Найдем наблюдаемое (эмпирическое) значение критерия

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид поэтому критическая область – двусторонняя.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, [ ] ) по уровню значимости помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы находим критическую точку двусторонней критической области

Так как - отвергаем нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно, и коррелированны.