2.2. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Для нормально распределенного количественного признака при известном среднем математическом отклонении оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней осуществляется с использованием доверительного интервала

где - точность оценки; - объем выборки; есть такое значение аргумента функции Лапласа, что .

При неизвестном (и объеме выборки )

где - исправленное среднее квадратическое отклонение, - находят по таблице «Таблица значений » по заданным и γ.

Для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака с надежностью γ по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служат доверительные интервалы

где находят по таблице «Таблица значений » по заданным и .

Пример 2.2. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение выборочная средняя и объем выборки

Решение. Требуется найти доверительный интервал

(2.1)

Здесь все величины, кроме , известны. Найдем . Из соотношения получим . По таблице «Таблица значений функции » находим . Подставим , в формулу (2.1), окончательно получим искомый доверительный интервал

.

Пример 2.3. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем исправленное среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99.

Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала для среднего квадратического отклонения, покрывающего оцениваемый параметр с заданной надежностью :

(2.2)

По данным и по таблице «Таблица значений » найдем Подставив в неравенство (2.2), окончательно получим

§ 3. Методы расчета сводных характеристик выборки

3.1. Метод произведений вычисления выборочной средней и дисперсии

3.1.1. Равноотстоящие варианты

Пусть выборка задана в виде распределения равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. В этом случае удобно находить выборочные среднюю и дисперсию методом произведений по формулам

где - шаг (разность между двумя соседними вариантами);

- ложный ноль (варианта, которая имеет наибольшую частоту);

- условная варианта;

- условный момент первого порядка;

- условный момент второго порядка.

Пример 3.1. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема :

варианта 12 14 16 18 20 22

частота 5 15 50 16 10 4

Решение. Составим расчетную таблицу 3.1. Для этого:

1. Запишем варианты в первый столбец;

2. Запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3. В качестве ложного нуля выберем варианту (16), которая имеет наибольшую частоту (в качестве можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный ноль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1,-2, а под нулем 1, 2, 3;

4. Произведения частот на условные варианты запишем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (-25) отрицательных чисел и отдельно сумму (48) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (23) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

5. Произведения частот на квадраты условных вариант, т.е. , запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов: ); сумму чисел столбца (127) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

6. Произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, т.е. , запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (273) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца. В итоге получим расчетную таблицу 3.1.

Для контроля вычислений пользуются тождеством

Контроль:

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами):

Вычислим выборочную среднюю и дисперсию, учитывая, что ложный ноль (варианта, которая имеет наибольшую частоту)

Таблица 3.1

1	2	3	4	5	6
12	5	-2	-10	20	5
14	15	-1	-15	15	-
16	50	0	-25	-	50
18	16	1	16	16	64
20	10	2	20	40	90
22	4	3	12	36	64
			48