Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Основным уравнением квантовой механики, описывающим состояние и взаимодействие микрочастицы с внешним полем является уравнение Шредингера. Подобно тому, как уравнения Ньютона не могут быть получены теоретически, а являются обобщением опытных фактов, уравнение Шредингера тоже не может быть получено из известных ранее соотношений. Это результат гениальной догадки Шредингера. Она описывает поведение волновой функции в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U. Волновая функция может быть найдена как решение уравнения Шредингера

, (64)

где i – мнимая единица, U – потенциальная энергия. m – масса микро-частицы, Δ – оператор Лапласа

.

Уравнение (64) называют общим уравнением Шредингера или уравнением Шредингера с временем.

Как видно из уравнения (64), вид волновой функции определяется потенциальной энергией. Потенциальная энергия есть функция координат и времени. Если потенциальная энергия не изменяется со временем U(x,y,z) (состояние стационарно), то волновая функция распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:

,

где Е – полная энергия частицы. Подстановка этого выражения в (64) дает

.

Сократив это выражение на , получаем уравнение

, (65)

которое называется уравнением Шредингера для стационарных состояний или уравнением Шредингера без времени.

Движение свободной частицы

Под свободной частицей подразумевается частица, движущаяся в пространстве, где отсутствуют внешние поля и потенциальная энергия частицы равна нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. Уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид

. (66)

Прямой подстановкой можно убедиться, что частным решением уравнения (66) является функция , где A=const, k =const

(67)

- собственное значение энергии.

Функция представляет собой только координатную волновую функцию. Зависящая от времени волновая функция принимает вид

, (68)

где . Функция (68) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля. Из выражения (67) следует зависимость энергии от импульса

,

которая совпадает с ее классическим выражением. Значит, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т. е. ее энергетический спектр является непрерывным. Вероятность найти свободную частицу в пространстве

т.е. положения свободной частицы в пространстве равновероятны.

Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Пусть частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме и может двигаться вдоль оси х в интервале значений от х = 0 до х = l (рис.51) .

Рис.51

Тогда потенциальная энергия частицы U = 0 в интервале и обращается в бесконечность U = ∞ при х < 0 и х > l. Поскольку движение зависит только от одной координаты, то уравнение Шредингера имеет вид

. (69)

Граничные условия

В области движения частицы U = 0, поэтому (69) примет вид

.

Обозначив , имеем уравнение , совпадающее по форме с уравнением гармонических колебаний, поэтому его решение может быть записано в виде

,

где А и α неизвестные.

Из начального условия находим

Из условия

находим, что последнее выражение удовлетворяется, если

, где n = 1, 2, 3,…

n = 0 отпадает, так как при этом получится, что частица нигде не находится

. Из выражений и находим

,

откуда получаем дискретные собственные значения энергии микрочастицы (уровни энергии)

,

пропорциональные квадратам целых чисел n = 1, 2, 3,…. Расстояние между энергетическими уровнями

возрастает с ростом n (рис. ). Собственными функциями будут выражения

Амплитуду А находим из условия нормировки волновой функции

.

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла получаем, умножив среднее значение на длину промежутка l: откуда и

. (70)

Графики функций (70) изображены на рис.52а. На рис.52б представлена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.

а б

Рис.52

Как следует из графиков, например, с n=2, частица не может быть обнаружена в середине ямы и одинаково часто обнаруживается в левой и правой половинах ямы. Такое поведение частицы не совместимо с представлением о траектории. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.