Метод зон Френеля

Применим метод зон Френеля для нахождения амплитуды световой волны в точке Р, возбуждаемой сферической волной, распространяющейся в однородной среде от точечного источника S (рис.15 ).

Рис.15

Волновая поверхность симметрична относительно линии SP. Френель предложил разбить волновую поверхность на кольцевые зоны (зоны Френеля) так, чтобы расстояния от краев соседних зон до точки Р различались на половину длины волны /2. Тогда колебания в точке Р, приходящие от соответствующих частей соседних зон, соответственно и от самих соседних зон, будут иметь разность хода, равную /2, и, согласно формуле , придут в точку Р в противоположных фазах. Они будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего колебания в точке Р может быть выражена как алгебраическая сумма амплитуд волн, приходящих от всех зон волновой поверхности

(8)

Можно показать, что площади всех зон Френеля при не слишком больших номерах зон одинаковы, стало быть, и, казалось бы, амплитуды А₁, А₂, А₃,…должны быть одинаковы. Однако, амплитуда излучения в направлении точки Р уменьшается по двум причинам: вследствие увеличения расстояния от зоны до точки Р и вследствие увеличения угла φ между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку Р. Поэтому можно записать

А₁> А₂> А₃>А₄> … . (9)

Представим амплитуды нечетных зон в виде , тогда выражение (8) можно переписать в виде

.

Согласно соотношению (9), выражения в скобках равны нулю и соответственно

.

Если волновой фронт полностью открыт, тогда угол и . При этом .

Таким образом, действие всего волнового фронта в точке Р равносильно действию только половины центральной зоны Френеля. Заметим, что выражение не зависит от расстояния между волновой поверхностью и точкой Р. Расчеты показывают, что радиус первой зоны Френеля весьма мал, порядка 10^-1мм. Поэтому можно считать, что распространение света от источника S к точке Р происходит вдоль очень узкого канала, фактически прямолинейно. Значит, принцип Гюйгенса-Френеля объясняет прямолинейность распространения света в однородной среде.

Деление волнового фронта на зоны Френеля подтверждается с помощью зонной пластинки – стеклянной пластинки, состоящей из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, построенных по принципу расположения зон Френеля. Такую пластинку на пути от точечного источника к экрану можно расположить так, что непрозрачные кольца закроют собой систему только четных колец, оставив открытыми нечетные, либо наоборот. В результате этого результирующая амплитуда в точке Р выразится как , либо как . В обоих случаях амплитуда будет больше, чем от полностью открытого волнового фронта.

Дифракция света на круглом отверстии и круглом диске

Дифракция света на круглом отверстии. Пусть на пути сферической волны от точечного источника света S помещена непрозрачная пластинка с круглым отверстием (рис.16).

Рис.16

Наблюдение дифракционной картины ведется на экране Э, параллельном плоскости отверстия. Пусть диаметр отверстия пластинки таков, что в нем укладывается только первая зона Френеля, остальные зоны закрыты самой пластинкой. Очевидно, что в этом случае амплитуда световой волны в точке наблюдения Р равна А = А₁. Увеличим диаметр отверстия настолько, что в нем укладываются две зоны Френеля. Амплитуда световой волны в точке Р станет равной А = А₁-А₂ и, очевидно, уменьшается. Увеличим вновь диаметр отверстия так, что в ней будут укладываться три зоны Френеля. Результирующая амплитуда в точке Р будет равна А = А₁-А₂+А₃ и как видно возрастает. Если снова увеличим отверстие, так, чтобы в ней уложились четыре зоны, то А = А₁-А₂+А₃-А₄, результирующая амплитуда волны уменьшится. Из этого рассуждения напрашивается прямой вывод: если в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля, то освещенность в точке наблюдения Р максимальна, если укладывается четное число зон, то освещенность минимальна. Значит, результат наблюдения зависит от четности и нечетности числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Дифракционная картина на экране в целом будет иметь вид чередующихся светлых и темных колец с центром в точке Р (рис.13а).

2. Дифракция на круглом диске. Пусть круглый диск находится между точечным источником света и плоским экраном Э. Дифракционная картина наблюдается в точке Р на поверхности экрана. При изучении дифракции надо из рассмотрения исключать участок волнового фронта, закрытый диском, и строить зоны Френеля начиная с края диска. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке Р можно представить в виде ,

или ,

так как выражения в скобках равны нулю. Значит, в центре в точке Р, являющейся центром тени от диска всегда наблюдается светлое пятно –интерференционный максимум. Центральный максимум окружен концентрическими с ним чередующимися светлыми и темными кольцами. Освещенность светлых колец убывает с удалением от точки Р (рис.13б).

Дифракция Фраунгофера на одной щели. До сих пор мы рассматривали дифракцию лучей, расходящихся от точечного источника. Дифракция света на расходящихся или сходящихся лучах называют дифракцией Френеля. Немецкий ученый И. Фраунгофер (1787 – 1826) исследовал дифракцию в параллельных лучах. Для получения системы параллельных лучей точечный источник света помещается в фокусе собирающей линзы и дифракционная картина исследуется в фокальной плоскости второй собирающей линзы На рис.17 показана схема наблюдения дифракции в параллельных лучах.

Рис17

На длинную и узкую щель АВ шириной а по нормали падает параллельный пучок монохроматического света. Фронт световых волн параллелен щели. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка фронта волны становится новым источником волн. Поэтому за щелью во всех направлениях распространяются световые волны. Но в одних направлениях дифрагирующие волны усиливают друг друга в других – ослабляют. Чтобы наблюдать дифракционную картину, поместим за щелью собирающую линзу и рассмотрим дифракционную картину на экране Э, помещенную в ее фокальную плоскость. Выберем лучи, отклоненные от первоначального направления на угол φ. Для того чтобы ответить на вопрос, что дадут лучи, отклоненные на угол φ в точке наблюдения М в результате дифракции – максимум или минимум, – нужно знать число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели. Если число зон нечетно, значит, в точке М наблюдается максимум, если четно – минимум Чтобы рассчитать число зон Френеля, от крайней точки А опустим перпендикуляр на крайний луч, идущий от другой крайней точки щели В и точку падения перпендикуляра обозначим буквой С. Полученный отрезок ВС разделим на участки равные /2 и через каждый участок проведем плоскости, параллельные перпендикуляру. Эти плоскости разделят волновой фронт АВ на зоны Френеля, число которых равно .

Из треугольника АВС имеем . Тогда, если число зон Френеля четно, то

(10)

и в точке М наблюдается минимум, если число зон Френеля нечетно, то

(11)

В точке М наблюдается максимум освещенности.

Расчеты показывают, что результирующая амплитуда колебания в точке М выражается формулой

. (12)

Нетрудно проверить, что при , или , амплитуда равна нулю, т. е. получается минимум.

На рис.16 показано распределение интенсивности света при дифракции от одной щели в зависимости от синуса угла φ. Видно, что наиболее интенсивная полоса света на экране наблюдается против щели (φ =0) и по обе стороны от нее наблюдаются слабые симметричные световые полосы.