Атом водорода в квантовой механике

В атоме водорода или в водородоподобном ионе потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром определяется выражением

и уравнение Шредингера примет вид

. (73)

Поскольку потенциальная энергия электрона в водородоподобном атоме является центрально симметричным, это уравнение выражают в сферической системе координат. Координаты сферической системы координат связаны с координатами сферической системы координат x = r sin·cos, y = r sin·sin, z = r cos. Тогда волновая функция выразится через сферические координаты . Решение уравнения в сферических координатах ищут, представив волновую функцию в виде произведения двух функций

.

Уравнение (73) имеет решение в случаях: а) при любых положительных значениях энергии Е, б) при дискретных отрицательных значениях Е_n равных

. (74)

Отрицательные значения энергии Е_n < 0 соответствуют электрону, находя-щемуся в пределах атома. Сравнение выражения (74) с выражением (56) показывает, что значение энергии водородоподобного атома, полученного из уравнения Шредингера, совпадает со значением, полученным из теории Бора.

Собственные функции уравнения (73) содержат три целочисленных параметра, один из которых совпадает с номером уровня энергии n, два других обозначаются буквами l и m. Эти числа называются квантовыми числами:

n – главное квантовое число,

l – азимутальное (орбитальное) квантовое число,

m – магнитное квантовое число.

При данном n числа l и m могут принимать такие значения

l = 0, 1, 2 , …, n-1

m=- l, -( l-1), -( l-2),… -2, -!, 0, +1, +2,…,+ (l-2),+( l-1), + l, всего 2l+1 значений

Таким образом, каждому Е_n (кроме Е₁) соответствует несколько волновых функций , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это значит, что атом водорода может находиться в различных состояниях, имея одно значение энергии,. Состояния с одинаковыми значениями энергии называются выраженными состояниями, а число различных состояний называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня. Для квантового числа n имеется состояний.

В квантовой механике установлено, что орбитальное квантовое число l определяет величину момента импульса электрона, а магнитное квантовое число m – проекцию этого момента на выделенное направление (обычно обозначаемое как ось z). Такое направление, как правило, выделяется физически, например, путем создания магнитного поля.

Момент импульса электрона равен

. (75)

Проекция момента импульса на выделенное направление равна

. (76)

Постоянная Планка рассматривается как единица момента импульса, поэтому говорят, что значение момента импульса равно , проекция момента импульса равна m. Значит, состояния с различными l и m различаются величиной момента импульса и его проекции на выделенное направление.

В спектроскопии электрон, находящийся в состоянии с l=0, считается находящимся в s-состоянии (или s-электроном), если l=1, то в р-состоянии, если l=2, то в d-состоянии, если l=3, то в f-состоянии и далее по английскому алфавиту. Значение главного квантового числа n ставится перед условным обозначением квантового числа l. Поскольку квантовое число l всегда меньше квантового числа n, то возможны следующие состояния электрона

1s

2s, 2p

3s, 3p, 3d

4s, 4p, 4d, 4f и т. д.

Испускание и поглощение энергии атомом происходит при переходах электрона с одного энергетического уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что возможны только такие переходы, при которых числа l и m изменяются только на единицу:

.

Это условие называется правилом отбора. Это условие обусловлено тем, что фотон обладает моментом импульса приблизительно равным ћ. Поэтому при поглощении или испускании энергии атомом фотон приносит атому или уносит от атома момент импульса ћ.

На рис.55 показаны разрешенные переходы, которые приводят к серии Лаймана ,

к серии Бальмера и т. д.

Рис.55

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема dV равна

. (77)

На рис.56 приведены графики величин , которые дают в выражении (77) вероятности, зависящие только от расстояния, выраженного в относительных единицах , где - радиус первой боровской орбиты.

Рис.56

На рис.57 показано пространственное распределение в виде полярной диагграммы, распределение получается в виде фигур вращения кривых вокруг оси Оz. Для l = 0 функция обладает шаровой симметрией.

Рис.57