Дискриминантные модели
Для того, чтобы разобраться в идее дискриминантного анализа рассмотрим пример соотношения пола и роста. Известно, что мужчины как правило выше женщин. Поэтому для определения пола можно использовать показатель роста. Если рост велик, то можно предположить, что пол будет мужской, если мал – женский (при этом, конечно, возможны ошибки). Задача схожа с задачей дисперсионного анализа (АNOVA), однако на основе обучающей выборки позволяет делать предсказания пола по росту.
Рассмотренный пример позволяет перейти к формальной модели дискриминантного анализа. Пусть наши объекты принадлежат к одному из нескольких классов, причем эти классы определяются значениями номинального признака. Кроме того, объекты оценены еще по нескольким признакам. Далее возможны две основные задачи:
задача интерпретации;
задача классификации, предсказания.
Первая связана с вопросом, позволяют ли дополнительные признаки отнести наши объекты к одному из исходных классов. Причем предполагается, что классов должно быть не менее двух и в каждом из них должно быть не менее чем два объекта. Технически эту задачу решает построение канонических дискриминантных функций. Рассматриваемая задача в чем-то схожа с задачей построения регрессионного уравнения, в чем-то, с факторным анализом. При ее решении происходит переход от исходного набора признаков к новому набору (он определяется каноническими дискриминантными функциями F), лучше разделяющему (дискриминирующему) объекты по классам. Исходные признаки, вошедшие в канонические дискриминантные функции, называются дискриминантными переменными (Xi).
F = U0 + U1 ·X1 + U2 ·X2 + ...+ Un·Xn
Обычно значения весовых коэффициентов Ui выбираются так, чтобы среднее значение F как можно больше различались для различных групп. Общее число канонических дискриминантных функций равно числу классов минус 1, или числу дискриминантных переменных (в зависимости от того, что меньше).
Возможна наглядная геометрическая интерпретация построения канонических дискриминантных функций, основывающаяся на расположении центроидов классов и главным центроидом в пространстве дискриминантных переменных (рис. 15).
Центроиды классов (на рисунке 15 они обозначены "о") определяют дискриминантное пространство. Прямые, проведенные через эти центроиды и определяют дискриминантные функции F. Если таких центроидов два, то дискриминантное пространство, обеспечивающее наилучшее "разделение" наших двух классов определяется прямой (поскольку через две точки можно провести прямую).
Первый класс
Исходный признак 2
Второй класс
о
о
Дискриминантная функция F
Исходный признак 1
Рис. 15. Пример построения канонической дискриминантной функции
Однако практически более важна задача классификации, предсказания. На основе выделенных по известному эмпирическому массиву канонических функций (новых признаков) строятся классифицирующие функции S, позволяющие относить новые объекты (которых не было в "обучающей" выборке) к одному из классов. В теории распознавания образов такая задача называется задачей обучения с учителем.
Для того, чтобы для предсказания можно было использовать дискриминантные модели, необходимо, чтобы исходные данные удовлетворяли следующим требованиям:
дискриминантные переменные и исходные для них признаки измеряются в числовых шкалах;
средние значения признаков по группам должны коррелировать с их внутригрупповым разбросом;
предполагается, что генеральные ковариационные матрицы (ковариация между дискриминантными переменными) для разных классов близки;
для каждого класса их распределение является нормальным (многомерным). Эти требования обеспечивают возможность оценки качества полученного решения с помощью статистических критериев;
полученные дискриминантные переменные не должны быть линейно зависимы между собой. Они могут в некоторой степени быть взаимосвязаны, причем для оценки такой связи используется коэффициент толерантности. Если он близок к 0, то дискриминантные переменные линейно зависимы, если толерантность близка к 1, то обеспечивается линейная независимость.
Для иллюстрации использования дискриминантного анализа рассмотрим пример предсказания исхода освобождения заложников.
Исходная ситуация выглядит следующим образом. Известно, что группа террористов захватила заложников и выдвигает свои требования. Правоохранительным органам нужен прогноз выживания заложников в том случае, если будет применена стандартная тактика борьбы с террористами.
Основой для такого прогноза может выступать обширная база данных по всем случаям захвата заложников в прошлом, включающая как можно больше сведений-параметров о террористах и заложниках (их численность, национальность, сплоченность, вооружение и т. д.). Для каждого из таких случаев уже известно, к чему привела стандартная тактика освобождения заложников. На этой основе они разбиваются на два класса. В первый класс попадают те случаи, когда среди заложников было много жертв. Во второй – случаи освобождения заложников без потерь. Если изобразить упрощенную геометрическую интерпретацию для случая двух параметров, то она будет иметь вид (рис. 16).
На рисунке 16 построения классифицирующей функции видно, что она тесно связана с канонической дискриминантной функцией и позволяет четко разделить области пространства дискриминантных переменных (исходных параметров), в которых обеспечивается тот или иной результат освобождения заложников.
Исходный параметр 2
Классифицирующая функция S
Без потерь
Значительные потери
о
о
Дискриминантная функция F
И
сходный
параметр 1
Рис. 16. Пример построения классифицирующей функции
Е
Исходный параметр 2
Классифицирующая функция S
Без потерь
х
о
Значит. потери
И
сходный
параметр 1
Рис. 17. Пример прогноза на основании классифицирующей функции
Как видно из рисунка 17, прогнозируемая ситуация (х) находится по ту же сторону от классифицирующей функции, что и случаи неблагоприятного исхода освобождения заложников. Это дает основания для прогноза значительных потерь в случае использования стандартных способов освобождения заложников.
Дискриминантный анализ завершает рассмотрение основных математических методов, применяемых в психологии для анализа эмпирической информации. Конечно, арсенал накопленных в исследовательской практике методов анализа значительно шире, но предоставленный нами набор методов анализа и идей стратегий такого анализа позволят слушателям и аспирантам-психологам начать анализ (см. табл. 29) собственных эмпирических данных и успешно его завершить.
Таблица 29